从零开始的几何学习

Computational Geometry

概念篇

点/向量:同样使用两个值表示,A向量表示为$\overrightarrow{A}$

线/线段:两个点实现,也可以一个点+一个向量实现（方便表示射线）

圆：一个点与一个值分别代表圆形与半径

点积:$x_1{x}_2+y_1{y}_2$，$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=|A|\cdot |B|\cdot cos\Theta$，可以判正交

叉积:$x_1{y}_2-x_2{y}_1$，记为$\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$，实际上就是由两向量为邻边的平行四边形的面积，有正负之分

半平面:一条直线将平面分成两个部分，其中的一个部分就是半平面。使用一条直线表示，直线的逆时针方向为所选的半平面

思路篇

判定两个向量位置方法：$\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$，叉积大于0，则$\overrightarrow{B}$位于$\overrightarrow{A}$的逆时针方向。而点积的值可以判定两向量的夹角大小

三角形面积可以由两向量得出，或者利用原点来做，即$\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}\times \overrightarrow{OA}$，由于只有三个点，所以只要按照某个方向叉就行了

角度旋转公式:$(xcosa-ysina,xsina+ycosa)$，为了避免无斜率，可以提前将所有点旋一点角度

利用点积，叉积来判断两直线关系，叉积判顺时针还是逆时针方向，点积判角度

多边形面积:只要顺时针叉一圈，得到的就是多边形面积的2倍，值得注意的是叉的方向，逆时针是正的，顺时针是负的。其实这就是一个三角剖分

判断两线段是否相交：快速排斥实验，就是将两线段变成两矩形判断是否相交。跨立实验，判断线段的两端是否位于另一个线段两端（利用叉积），判断两次（对每个线段各来一次）即可判断是否存在于严格交。对于非严格交，两次跨立实验无法处理0 0 5 0 6 0 7 0这种情况，所以需要进行两个实验

点到线段：只有了两种情况，一种是点在线段两侧，一种直接点到直线的距离

线段的距离：每个线段端点到另一条线段的距离的最小值，分类讨论后发现极值总是出现在两端

判断是否为凸包：以某一顺序叉一圈，如果每两个向量叉积均为同号或等于0,则为凸包

判断点是否在线段上：当叉积为0时判断是否在之间即可

点与凸包的关系：向某个方向引出一条射线看几个交点，奇数为在之内。由于有直接穿过交点的操作，这种应当算一次，所以可以使用左开右闭。这样也能处理恰好处理射线与凸包上的线重合的问题

凸包的内切圆：将凸包看成一个半平面交，首先二分圆的半径，然后让每个半平面都向有面积的那一侧平移，如果平移后半平面的交依旧不为0，则证明圆的半径能满足。求出半径后，依旧将每个半平面平移，剩下交的面积就是内切圆圆心可在的位置。

pick公式：$S=a+\frac{b}{2}-1$,s是面积，a是内部点数，b是边上点数

double 类型的gcd
double fgcd(double a, double b){
if(b <= eps) return a;
else return fgcd(b, fmod(a, b));
}

算法篇

算凸包：当对点先按x，再按y进行排序后（也可以极角排序），维护一个下凸壳，再维护一个上凸壳。两个凸壳合一起就是一个完整的凸包。维护的过程是利用叉积，因为两边的夹角始终是一个逆时针的，所以可以这么维护。
注意:如果起始点有重点，那么凸包在上下凸壳合并时会出现很多重复点

旋转卡壳：假如要算凸包直径，可以枚举点，同时枚举另一个点，由于其他点到当前点的距离是一个单峰函数，所以可以直接枚举。同时能够发现，这个过程是具有传递性的。当然，旋转卡壳能算的东西很多，矩阵覆盖什么的都是能算的

半平面交: 首先，半平面交的过程非常类似于形成一个凸包的过程，并且最后形成的图形也是一个凸包，那么就可以类似于凸包那样的去求。首先排个序，用一个队列记录目前已有的半平面选择的交点中，相邻两条直线的焦点，那么如果上一个交点在当前直线的右侧，就证明当前直线能完美替代上一条直线。这样的更新非常类似于凸包。
不过还有一种情况，就是新加入的线段会淘汰掉一开始加入的线段(因为维护的是一个凸包的形式，所以转一圈回去后，还能淘汰一开始的直线)，那么这样也需要判断。
由于一开始加进去的线具有更高的优先程度，所以先删队尾再删队头

圆的反演

闵可夫斯基和
给你两个点集$A,B$，定义他们的闵可夫斯基和为C,C满足 c = { a + b ∣ a ∈ A , b ∈ B } c=\left\{a+b|a{\in}A,b{\in}B\right\} c={a+b∣a∈A,b∈B}
如果我们要求C的凸包，能够发现，C凸包上的点一定是由A,B凸包上的点得来的

玄学时间

用int存整数会wa,用double存ac

半平面交的时候，强行加个框就AC了

POJ的G++要使用.f输出,C++使用.lf输出

结果可以加个eps（防止出现-0.0这种情况）

写过的题目:

1级(板子或者随便写写即可)

2级(有了一定的难度)

HDU - 3272讨论的技巧

3级(和其他算法结合或推导过程难度较大)

4级(看到就很头大)

写着写着就忘记写博客了，所以先咕咕了，哪天有想法了再补全