BZOJ 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

最新推荐文章于 2021-10-21 20:13:24 发布

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分类专栏：动态规划文章标签：动态规划

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本文介绍了一种针对玩具运输问题的动态规划解决方案。P教授需要将玩具压缩并放入特殊容器中运输，要求容器内玩具编号连续且总费用最小。通过设定状态转移方程，并利用单调队列维护下凸壳，最终实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

HINT

Source

哈哈，真是神题。

首先想暴力。

设f[i]表示前i个玩具的最小花费，则f[i]=min{f[j]+cst(j+1,i)};

时间复杂度是n^2。

f[j]−f[k]+(G[j]+α)2−(G[k]+α)22(G[j]−G[k])<G[i]

如果设g[i]=sum[i]+i,a=l+1;

k比j辣鸡当且仅当上式成立。

之后就可以用单调队列维护一个下凸壳。

具体来说：检查队头是否满足单调性，dp更新，新状态入队。

推荐博客：http://medalplus.com/?p=1751

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=50005;
int n,front,tail,q[N];
long long l,a,s[N],g[N],f[N];
long long X(int x,int y)
{
    return 2*(g[x]-g[y]);
}
long long Y(int x,int y)
{
    return f[x]-f[y]+(g[x]+a)*(g[x]+a)-(g[y]+a)*(g[y]+a);
}
void getdp(int i,int j)
{
    f[i]=f[j]+(g[i]-g[j]-a)*(g[i]-g[j]-a);
}
int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&l);
    a=l+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        long long x;
        scanf("%lld",&x);
        s[i]=s[i-1]+x;
        g[i]=s[i]+(long long)i;
    }
    front=0,tail=0;
    q[front]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(front<tail&&Y(q[front+1],q[front])<=g[i]*X(q[front+1],q[front]))
            ++front;
        getdp(i,q[front]);
        while(front<tail&&Y(i,q[tail])*X(q[tail],q[tail-1])<=Y(q[tail],q[tail-1])*X(i,q[tail]))
            --tail;
        q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}