电路笔记(阻抗) : 传输线路方程&传输线输入阻抗公式 推导 + 理查德变换 Richards‘ Transformation（用传输线形式的分立元件替代集总元件）

1 传输线路方程推导

• 信号源 →───[ 传输线 (长度 l, 阻抗 Z₀) ]───→ 负载 ZL

• 在传输线的“左端”（输入端）量测阻抗，量测到的是 Z_in，但负载在“右端”。由于高频信号在传输线中传播有相位延迟，负载阻抗会“变形”地反射回来。这种“阻抗变换”用下面的公式描述：

$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+j{Z}_0\tan (\beta l)}{Z_0+j{Z}_L\tan (\beta l)}$$

符号	含义	单位
$Z_0$	传输线的特性阻抗（characteristic impedance）	Ω
$Z_L$	负载阻抗（load impedance）	Ω
$l$	传输线的长度	m
$\beta$	相位常数（phase constant）= (2\pi / \lambda)	rad/m
$\lambda$	波长	m
$j$	虚数单位（代表相位）	—
$\tan (\beta l)$	表示信号在传输线中传播相位后的正切函数	—

1.1 电压与电流波动方程

• 利用阻抗关系（下图中上侧的关系，电阻$R_1$+电抗$\omega L_1$）和导纳关系（下图中左侧的关系,电导$G_1$+电纳$\omega C_1$，约等于公式）得到微分方程组（最下边的两个公式）：

• 进行左右两边同时求导，左边是二阶导：
  
• 简化方程：
  
• 电压通解：

• 再看电流通解：

• 总结：

• 通解的推导完成，以上的所有图片来自UP主caption云的视频《传输线方程的推导以及通解的意义》。

• “无损传输线”意味着导体和介质不消耗能量,波沿线传播时只相位变化，不衰减，即：

$$\gamma =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\sqrt{(j\omega L)(j\omega C)}=\sqrt{-{\omega }^{2}LC}=j\sqrt{{\omega }^{2}LC}=j\omega \sqrt{LC}$$

• 于是：

$$\boxed{\gamma =j\beta }$$

• 这样，传输线上沿正z方向的电压和电流可以表示为：

$$\boxed{V(z)=A{e}^{-j\beta z}+B{e}^{j\beta z}}$$
$$\boxed{I(z)=\frac{A}{Z_0}{e}^{-j\beta z}-\frac{B}{Z_0}{e}^{j\beta z}}$$

1.2 在负载端（z = 0）应用边界条件

$$Z_L=\frac{V(0)}{I(0)}=\frac{A+B}{\frac{A}{Z_0}-\frac{B}{Z_0}}=Z_0\frac{A+B}{A-B}$$

• 整理得到反射系数：

$${\Gamma }_L=\frac{B}{A}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$$

1.3 在输入端（z = -l）求阻抗

$$Z_{in}=\frac{V(-l)}{I(-l)}=Z_0\frac{1+{\Gamma }_L{e}^{-2j\beta l}}{1-{\Gamma }_L{e}^{-2j\beta l}}$$

• 把 ${\Gamma }_L$的定义代入并化简，就得到：

$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+j{Z}_0\tan (\beta l)}{Z_0+j{Z}_L\tan (\beta l)}$$

• 此为传输线输入阻抗公式。

2 特殊情况

2.1 短路传输线（Short-Circuited Line）

当负载为短路时：
$$Z_L=0$$
代入上式：

$$Z_{in}=j{Z}_0\tan (\beta l)$$

若线长 $l\ll \lambda /4$，则$\tan (\beta l)\approx \beta l$，得到：

$$Z_{in}\approx j{Z}_0\beta l=j\omega L_{eq}$$

可见它表现为一个电感，其中：
$$L_{eq}=\frac{Z_{0}l}{v_p}=\frac{Z_{0}l}{\omega /\beta }$$

→ 短路传输线 ≈ 电感

2.2 开路传输线（Open-Circuited Line）

当负载为开路时：
$$Z_L=\infty$$

代入上式并化简：

$$Z_{in}=-j{Z}_0\cot (\beta l)$$

若 $l\ll \lambda /4$，$\cot (\beta l)\approx 1/(\beta l)$，得到：

$$Z_{in}\approx -j\frac{Z_0}{\beta l}=\frac{1}{j\omega C_{eq}}$$

因此表现为电容，其中：
$$C_{eq}=\frac{l}{Z_0{v}_p}$$

→ 开路传输线 ≈ 电容

3 理查德变换

• 在高频或微波电路中，传统的集总元件（lumped elements）难以实现，因为：

  • 元件的寄生效应导致其不再理想；
  • 物理尺寸与波长相当，无法忽略；
  • 制造公差与焊接布局严重影响性能。

• 因此，理查德变换（Richard’s Transformation） 用于将这些 集总元件 转换为可以在高频中实现的 分立元件：

集总元件	等效传输线	输入阻抗	等效参数	实现方式
电感 Inductance coefficient L	短路传输线	$Z_{in}=j{Z}_0\tan (\beta l)$	$L=\frac{Z_{0}l}{v_p}$	一端短路的 λ/8 微带线
电容 Capacitor	开路传输线	$Z_{in}=-j{Z}_0\cot (\beta l)$	$C=\frac{l}{Z_0{v}_p}$	一端开路的 λ/8 微带线

其中：

• $Z_0$：传输线特性阻抗
• $v_p$：相速度$(v_p=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_{eff}}})$
• $l=\frac{\lambda }{8}$ 通常用于设计方便，最小值为$l=\frac{\lambda }{10}$（如果导线长度 L ≥ λ/10，就必须考虑传输线效应（即波动、反射等传播现象）。如果 L ≤ λ/10，可以近似认为电压、电流分布几乎均匀，可以用集中参数电路近似。如果传输相位延迟很小（如小于 36° ≈ 0.63 rad），系统仍然可以近似看成“同相”）

• 注：哈哈，有时看到这个电感L，感觉不是很确定，需要想一下。既然电感的英文是Inductor,为什么用L符号呢？
  • 经检索发现，早期的物理学文献中，“I”代表“Intensité du courant”（法语中“电流强度”），被广泛使用。因此，为了避免混淆，“inductance”只能另找符号， Oliver Heaviside（奥利弗·赫维赛德）最早使用L符号表示电感，后来选择了 L 来纪念电磁学先驱Joseph Henry（单位 亨利H 是为了正式纪念他对电磁学的贡献而命名的）。
  • 哈哈，我有时也会混淆静态RAM和动态RAM。既然静态RAM需要通电来维持数据的存储状态，而动态RAM可以在断电后保存数据，为什么这两个名字要这样命名呢？原因暂略……