电路笔记(阻抗) : 反射系数 & 阻抗匹配 + Smith 圆图(阻抗史密斯圆图 & 导纳史密斯圆图 --- 上感下容，左并右串)

1. 反射系数&阻抗匹配

• 在之前的《电路笔记(阻抗) : 传输线路方程&传输线输入阻抗公式 推导 + 理查德变换 Richards‘ Transformation（用传输线形式的分立元件替代集总元件）》已经在负载端（z = 0）应用边界条件，推导反射系数 $\Gamma$公式，当$\Gamma =0$表示完全匹配，无反射，即：
  $$\Gamma =\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=0$$

• 注：以上为无反射匹配，另外还有一个相关概念 共轭匹配。当$Z_L=Z_0^{\ast }$，即源阻抗和负载阻抗应该是彼此的复共轭，为功率传输效率最高的情况，需注意区别。

项目	物理意义	类比
共轭匹配	负载抵消源的虚部，让源尽可能输出功率	两个弹簧反向抵消，能量全变成阻尼消耗（最大功率）
无反射匹配	负载“看起来”与传输线完全连续，波无回弹	弹簧链末端完全吸收波，无反弹

• 注：这里有一个使用端口1的反射系数S11的实例（S₁₁ = 0.2 ∠30° → 表示在 1 V 激励下，反射电压波为 0.2 V，相位 30°）。

2. Smith 圆图（Smith Chart）

• Smith 圆图（Smith Chart）是一种在射频工程和微波工程中非常常用的图形工具，用来表示复阻抗（或者复导纳）随频率变化的情况。它最早由菲利克斯·史密斯（Philip H. Smith）在 1939 年发明。下面我给你详细解释一下：

2.1 阻抗史密斯圆图基本概念

• 复阻抗：
  $$Z=R+jX$$
  其中$R$ 是电阻，$X$ 是电抗（电感或电容）。

• 归一化阻抗：为了在图上方便表示，通常将阻抗归一化：
  $$z=\frac{Z}{Z_0}=r+jx$$
  $Z_0$ 是特性阻抗（例如 50 Ω），$r$是归一化电阻，$x$ 是归一化电抗。

2. 2 阻抗史密斯圆图结构

阻抗史密斯圆图圆图主体是一个单位圆（半径 1 的圆），图形上所有点都可以表示一个阻抗：

• 水平轴：表示阻抗仅有实部，没有虚部。

• 单位圆内部的点：表示所有可能的归一化阻抗。

• 圆图上的曲线：

  • 恒定电阻圆：圆心在实轴上，代表相同 $r$ 的阻抗，如$z=1+1j$和$z=1+2j$。
  • 恒定电抗弧线：弧线代表相同 $x$ 的阻抗，如$z=1+1j$和$z=2+1j$。

• 多条曲线绘制得到阻抗史密斯圆图：

2.3 反射系数关系

• 在微波传输线中，反射系数 $\Gamma$与归一化阻抗的关系为：
  $$\Gamma =\frac{z-1}{z+1}$$

• 这样，Smith 图实际上是复反射系数$\Gamma$ 的映射图。
• 史密斯圆图中，点到原点的距离为反射系数的幅值。
• 单位圆的边界表示 $|\Gamma |=1$，也就是完全反射。

2.4 导纳图

• 导纳 (Y) 是阻抗 (Z) 的倒数：
  $$Y=\frac{1}{Z}=G+jB$$

• 其中：$G$ 是电导（Conductance）, $B$是电纳（Susceptance）

• 归一化导纳：
  $$y=\frac{Y}{Y_0}=g+jb$$

• 这里 $Y_0=1/Z_0$是系统特性导纳。

• Smith 圆图本质上是反射系数 $\Gamma$ 的单位圆映射，既可以表示阻抗，也可以表示导纳：

• 阻抗表示：
  $$z=r+jx$$
• 导纳表示：
  $$y=g+jb=\frac{1}{z}$$

映射关系：

• 阻抗圆图上的每个点，通过取倒数（或旋转 180° 在 Smith 图上）就变成导纳图上的点。

上感下容，左并右串

• 阻抗图和导纳图在 同一个 Smith 圆图上 可以共存，但通常用 不同的标记或颜色 来区分。然后在导纳图上沿恒定曲线移动，找到匹配点:
  • 在等电阻的圆上，可通过串联电感，使点顺时针移动；可通过串电容，使点逆时针移动。
  • 在等电导的圆上，可通过并联电感，使点逆时针移动；可通过并电容，使点顺时针移动。

3. 举例

3.1 例子

• 假设：
  $$Z_0=50\Omega （在无耗、均匀传输线上，等效为纯阻性50\Omega ）$$
  $$Z_L=j50\Omega (\text{模值相等，但全为虚数，在当前频率下等效于一个感抗为 50 欧姆的理想电感})$$

• 反射系数为（用非归一化的那个公式计算可得）：
  $$\Gamma =\frac{j50-50}{j50+50}=\frac{50(j-1)}{50(j+1)}=\frac{j-1}{j+1}$$

• 计算：
  $$|\Gamma |=|j|=1$$

• 完全反射 ： 虽然 |ZL| = |Z0| = 50，但由于相位差 90°，仍完全反射，没有功率传输。

• “阻抗模值相等”只是说明电压与电流的幅度比相同，但如果相角不同，电压与电流之间仍存在相位差，存在反应性分量（电感或电容）。这意味着波在负载处会部分反射回源端。

3.2 在 Smith 图中的表现

• 在 Smith 图上：
  • ZL = Z0：点在中心（完全匹配）；
  • |ZL| = |Z0| 但角度不同：点在圆周上（完全反射）；
  • 只有当 ZL = Z0（同相同值）时，才落在中心，无反射。