道路同轮与基本群

σ,τ道路同轮

用[0,1]到开集的映射定义道路后，定义两个映射的道路同伦$\sigma {\simeq }_p\tau$：

$$\begin{gathered} 假设\sigma ，\tau 都是X中从x_0到x_1的道路(即道路的起点与终点相同) \\ 如果存在伦移F：I\times I\to Xs.t.F(s,0)=\sigma (s),F(s,1)=\tau (s)。 \end{gathered}$$
$$并且F(0,t)=x_0,F(1,t)=x_1（即伦移保持起点与终点）$$

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$X中所有的x_0道x_1的集合中道路同伦是等价关系$

道路同伦等价类

给定X中一点x0，有PX={σ:I→X∣σ(0)=x0}也就是空间中所有起点在x0的道路的集合，其上能赋予紧开拓扑存在映射π:PX到X,π(x)=σ(1)（终点）若给定x1,则有π−1(x1)={σ:I→X∣σ(0)=x0,σ(1)=x1}也就是空间中所有起点在x0,终点在x1的道路的集合然后在集合中商掉“道路同伦”的等价关系道路同伦等价类集合：π−1(x1)/≃p给定X中一点x_0，有PX=\{σ:I\rightarrow X| σ(0)=x_0 \}\\ \tiny 也就是空间中所有起点在x_0的道路的集合，其上能赋予紧开拓扑\\ \normalsize 存在映射\pi :PX到X,\pi (x)=σ(1)（终点）\\ 若给定x_1,则有\pi^{-1}(x_1)=\{σ:I\rightarrow X|σ(0)=x_0 ,σ(1)=x_1 \}\\ \tiny 也就是空间中所有起点在x_0,终点在x_1的道路的集合\\ \normalsize 然后在集合中商掉“道路同伦”的等价关系\\ 道路同伦等价类集合：\pi^{-1}(x_1)/\simeq_p 给定X中一点x0​，有PX={σ:I→X∣σ(0)=x0​}也就是空间中所有起点在x0​的道路的集合，其上能赋予紧开拓扑存在映射π:PX到X,π(x)=σ(1)（终点）若给定x1​,则有π−1(x1​)={σ:I→X∣σ(0)=x0​,σ(1)=x1​}也就是空间中所有起点在x0​,终点在x1​的道路的集合然后在集合中商掉“道路同伦”的等价关系道路同伦等价类集合：π−1(x1​)/≃p​

道路的连接

$$\begin{gathered} 道路的连接：\sigma ，\tau 都是X道路，若\sigma (1)=\tau (0),用数学语言将两个道路拼接起来 \\ 则\sigma \ast \tau （s）:I\to X=\{\begin{array}{ll}\sigma (2s)& s\in [0,\frac{1}{2}]\\ \tau (2s-1)& s\in [\frac{1}{2},1]\end{array} \end{gathered}$$

$\Omega X/{\simeq }_p$

$特别的：当x_0=x_1时，集合记为\Omega X,赋予紧开拓扑称为回路空间$
$$\begin{gathered} 考虑\Omega X/{\simeq }_p，在其上定义乘法: \\ 在\Omega X中的任何两条闭路\sigma ，\tau 都有乘法（一定满足\sigma (1)=\tau (0)） \end{gathered}$$

道路乘积的性质很差：

$$\begin{gathered} 在X中的道路有\sigma {\simeq }_p{\sigma }^{\ast },\tau {\simeq }_p{\tau }^{\ast },如果\sigma (1)=\tau (0),如下图所示 \\ 则道路乘积\sigma \ast \tau {\simeq }_p{\sigma }^{\ast }\ast {\tau }^{\ast }(证略) \end{gathered}$$

三条道路

σ，τ，w
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$$(\sigma \ast \tau )\ast w与\sigma \ast (\tau \ast w)不满足结合律，但是是同伦的$$
$(\sigma \ast \tau )\ast w（s）=\{\begin{array}{ll}\sigma \ast \tau (2s)& s\in [0,\frac{1}{2}]\\ w(2s-1)& s\in [\frac{1}{2},1]\end{array}=(\sigma \ast \tau )\ast w（s）=\{\begin{array}{ll}\sigma (4s)& s\in [0,\frac{1}{4}]\\ \tau (4s)& s\in [\frac{1}{4},\frac{1}{2}]\\ w(2s-1)& s\in [\frac{1}{2},1]\end{array}$

$\sigma \ast (\tau \ast w)（s）=\{\begin{array}{ll}\sigma (2s)& s\in [0,\frac{1}{2}]\\ (\tau \ast w)(2s-1)& s\in [\frac{1}{2},1]\end{array}=(\sigma \ast \tau )\ast w（s）=\{\begin{array}{ll}\sigma (2s)& s\in [0,\frac{1}{2}]\\ \tau (4s-2)& s\in [\frac{1}{2},\frac{3}{4}]\\ w(4s-3)& s\in [\frac{3}{4},1]\end{array}$

$$F(S,t)在[0,交点1]为\sigma ，[交点1,交点2]为\tau ，[交点2,1]为w$$

基本群

以x0为起点与终点的闭路关于道路同伦的等价类的集合ΩX/≃p，现将其记为π1(X,x0)闭路的等价类σˉ={τ:I→X∣σ≃pτ}为其中元素,σ为代表元以x_0为起点与终点的闭路关于道路同伦的等价类的集合ΩX/\simeq_p，\\现将其记为\pi_1(X,x_0)\\ 闭路的等价类\bar σ =\{τ:I\rightarrow X| σ \simeq_p τ \}为其中元素,σ为代表元以x0​为起点与终点的闭路关于道路同伦的等价类的集合ΩX/≃p​，现将其记为π1​(X,x0​)闭路的等价类σˉ={τ:I→X∣σ≃p​τ}为其中元素,σ为代表元

$$\begin{gathered} 在X中的道路有\sigma {\simeq }_p{\sigma }^{\ast },\tau {\simeq }_p{\tau }^{\ast },如果\sigma (1)=\tau (0),如下图所示 \\ 则道路乘积\sigma \ast \tau {\simeq }_p{\sigma }^{\ast }\ast {\tau }^{\ast },\overline{\sigma \ast \tau }=\overline{{\sigma }^{\ast }\ast {\tau }^{\ast }} \end{gathered}$$

$$在{\pi }_1(X,x_0)中定义乘法\ast ：\bar{\sigma }\ast \bar{\tau }=\overline{\sigma \ast \tau }$$

可证${\pi }_1(X,x_0)$在以上乘积构成群，称为X的基本群

$$\begin{gathered} 其上的单位元e:C_{x_0}:I\to X,\forall s\in I,C_{x_0}(s)=x_0 \\ 逆元{\sigma }^{-1}：{\sigma }^{-1}(s)=\sigma (1-s) \end{gathered}$$
(一般地，因为连接的先后，群不是交换群)