65、基础算法数论与循环群生成元探索

基础算法数论与循环群生成元探索

1. 关于N与欧拉函数φ(N)的关系

对于长度为n且N ≥ 3的数，有定理表明 $\frac{N}{\varphi(N)} < 2^n$ 。虽然存在更强的边界，但此不等式足以满足相关需求。下面分两种特殊情况来证明：
- N为奇素数时 ：此时 $\varphi(N) = N - 1$ ，那么 $\frac{N}{\varphi(N)} \leq \frac{2^n}{\varphi(N)} = \frac{2^n}{N - 1}$ 。因为N是奇数，所以 $N - 1 \geq 2^{n - 1}$ ，进而 $\frac{2^n}{N - 1} \leq \frac{2^n}{2^{n - 1}} = 2$ 。
- N = pq（p和q为不同奇素数）时 ：$\frac{N}{\varphi(N)} = \frac{pq}{(p - 1)(q - 1)} = \frac{p}{p - 1} \cdot \frac{q}{q - 1}$ 。不妨设 $p \geq 3$ ，$q \geq 5$ ，则 $\frac{p}{p - 1} \cdot \frac{q}{q - 1} < \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} < 2$ 。

由此可知，当N是素数或者两个不同奇素数的乘积时，存在一种算法可以在多项式时间内生成 $Z_N^*$ 的均匀元素，并且输出失败的概率在n上是可忽略的。在实际应用中，我们通常会忽略这个可忽略的失败概率，因为它对分析结果没有显著影响。

2. 循环群生成元的寻找问题

在任意阶为q的