泊松分布的分布函数_泊松分布、指数分布与伽马分布

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一、泊松分布

泊松分布：随机事件在单位时间内发生某次的概率。

通俗地说：事件在单位时间内发生0次的概率、发生1次的概率 ... 发生∞次的概率。

形象地说：下面每条线各表示一种泊松分布。平均意义上，黄线的单位时间内发生1次，紫线的单位时间内发生4次，蓝线的单位时间内发生10次。λ表示单位时间内平均发生次数，所以在k=λ时取到极值。

图1. 泊松分布函数。横轴是发生次数。泊松分布的参数λ是单位时间（或单位面积）内事件的平均发生次数。

暗含的假设：事件之间的平均时间是已知的，事件的确切时间是随机的。

有空的话，就看个例子吧：

已知某家小杂货店，平均每周售出2个水果罐头。请问该店水果罐头的最佳库存量是多少？

泊松分布的公式如下：

各个参数的含义：

P：每周销售k个罐头的概率

X：每周水果罐头的销量

k：X的取值（0，1，2，3...）。

λ：每周水果罐头的平均销量，是一个常数，本题为2

根据公式，计算得到每周销量的分布：

表1

从上表可见，如果存货4个罐头，95%的概率不会缺货；如果存货5个罐头，98%的概率不会缺货。

一般来说，泊松分布满足三个特征：（实际上，许多以泊松过程为模型的现象并不能完全满足这些条件）

(1) 小概率事件

(2) 发生是独立的，不会互相影响

(3) 发生概率是稳定的

二、泊松分布总结

日常生活中，大量事件是有固定频率的：

• 某医院平均每小时出生3个婴儿
• 某公司平均每10分钟接到1个电话
• 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
• 某网站平均每分钟有2次访问

它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？

有可能一下子出生6个，也有可能1个都不出生。这是我们没法知道的。

泊松分布就是描述某段时间内，事件发生某次的概率。

上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示几个单位时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。

接下来2个小时（即上面的t=2），一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。

接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。

泊松分布的图形大概是下面的样子。

图2

可以看到，在频率λ附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。

三、泊松分布与指数分布

泊松过程的时间增量符合指数分布，此处的指数分布是事件的间隔时间的概率。下面这些一般符合指数分布：

• 婴儿出生的时间间隔
• 来电的时间间隔
• 奶粉销售的时间间隔
• 网站访问的时间间隔

指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔 t个单位时间 ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。

反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。

接下来15分钟（0.25个单位时间），会有婴儿出生的概率是52.76%。

接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是24.92%。

指数分布的图形大概是下面的样子：

λ是平均单位时间发生次数，如果λ越大，两次间隔时间必然越短。

但λ=1时(图3)，间隔时间大于1个单位时间的可能性，就比λ=3时(图4)，间隔时间大于1个单位时间的可能性大。

图3 (转载自https://www.zhihu.com/question/24796044/answer/673838656)

图4 (转载自https://www.zhihu.com/question/24796044/answer/673838656)

四、指数分布与伽马分布

指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间”

伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”

泊松分布解决的是“在特定时间里发生n个事件的概率”。

五、泊松分布与正态分布