R(AB)+n＞=R(A)+R(B)-优快云博客

本文通过一系列矩阵变换证明了特定形式的块矩阵的秩与其子矩阵之间的关系，并利用第三类初等变换保持行列式值不变的特性，得出结论R((AOIB))=R(AB)+n。

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(n为A的列数,B的行数)
$\left( \begin{array} { l l } { A } & { O } \\ { I } & { B} \end{array}\right)= \left( \begin{array} { l l } { I } & { -A } \\ { O } & { I} \end{array}\right) \left( \begin{array} { l l } { A } & { O } \\ { I } & { B} \end{array}\right) \left( \begin{array} { l l } { I } & { -B } \\ { O } & { I} \end{array}\right)\\ = \left( \begin{array} { l l } { O } & { -AB } \\ { I } & { O} \end{array}\right)$

初等变换矩阵不改变矩阵的秩并且这还是常用的第三类初等变换，第三类初等变换不改变行列式的值

$\left( \begin{array} { l l } { A } & { O } \\ { I } & { B} \end{array}\right))= R(\left( \begin{array} { l l } { O } & { -AB } \\ { I } & { O} \end{array}\right))=R(AB)+n$
$又因为R(\left( \begin{array} { l l } { A } & { O } \\ { I } & { B} \end{array}\right)) \geq R(A)+R(B)=R(\left( \begin{array} { l l } { A } & { O } \\ { O} & { B} \end{array}\right))\\ (根据R(\left( \begin{array} { l l } { A } & { O } \\ { I } & { B} \end{array}\right))和R(\left( \begin{array} { l l } { A } & { O } \\ { O } & { B} \end{array}\right))的其次方程的解集的关系，推导得秩得关系) \\原式得证$