五元交错群A5是单群

有限单群(有限群G只有两个平凡的正规子群,定义和素数很像)
当G的子群H是正规子群时，则可考虑G模H的商群，H不是正规子群做商只能得到陪集，不是群

G为有限交换群：
则G是单群iff G的阶为P
（结合之前的结论素数阶群一定是循环群，素数阶群一定是唯一的）

证
因Abel群G的任何子群都是G的正规子群,故Abel群G为单群当且
仅当G无非平凡子群，若G是有限阶的，由Sylow第- -定理知G无非平凡子群当
且仅当G的阶为素数.
此时,Va∈G且a≠e有G=(a).
无限阶的Abel群一定有（非平凡）正规子群
若G是无限阶的，则(< a >) 是G的正规子群(Va∈G,a≠e).若(< a >)是有限阶的，则(< a >) 是非平凡的.故设(< a >) 是无限阶的,
则<a^2>是非平凡的，即任何无限阶的Abel群都有非平凡的正规子群.

一些已知信息（条件）

|A5|=60,A5不是Abel群。
(其实An,n>=5都是单群，且60阶单群只有A5一个¹)

Sn可由n-1个对换生成：

$$(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)\dots \dots (1,n)$$
并且有任意两个对换是共轭的

Sn可由以下生成：

$$(1,2),(1,2，3),(1，2，3,4)，\dots \dots (1,2，3，\dots \dots n)$$
任意两个元素非共轭

An中元素都是偶置换，但是对换是奇置换，An生成元不是对换

验证一个群为单群……

1.选取群的一组生成元

An由所有的三轮换生成（n>=3）

$$An=<(i,j,k)>$$
An中元素为偶置换，可分解为偶数个对换的乘积。
下证明任意两个对换的乘积可有三轮换生成
1）(i,j)(i,j)=(1)=(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)=(1,2,3)(1,3,2)
2）(i,j)(i,k)=(i,j,k)
3）(i,j)(k,l)=(i,j)(j,k)(j,k)(k,l)=(i,j,k)*(j,k,l)

2.验证生成元组是一个共轭类

                σ（1,2,3）σ^(-1)
                σ((1,2,3))=(σ(1),σ(2),σ(3))=(i,j,k)

$$\sigma =\left(\begin{array}{ll}123& \dots \dots n\\ ijk& \dots \dots \sigma (n)\end{array}\right)$$
当n>=5时，如果σ不是偶置换，只需要将i,j,k后的元素进行一个对换即可

3.H是G的正规子群，要证H=G，只需证H中含有生成元组的元素，即验证H中有三轮换

$$\sigma \in An,\sigma !=(1),\sigma 可写成不相交的轮换的乘积$$
$$利用群的封闭等性质分类证明$$
$$0)设\sigma =（1，2，3,\dots \dots ，r）\tau ,n>=4时，构造$$
$$考虑\sigma 的一个共轭\lambda \sigma {\lambda }^{-1}(\lambda =(1,2,3)\in An)，\lambda \sigma {\lambda }^{-1}{\sigma }^{(}-1)=(2,3,1,4\dots \dots r)\tau {\sigma }^{(}-1),消去了\tau$$
$$(1,2,3)[\sigma (1,3,2){\sigma }^{(}-1)]=(1,2,3)(2,4,3)=(1,2)(2,3)(3,2)(2,4)=(1,2,4)$$
$$注：将xy{x}^{-1}{y}^{(}-1)称为换位子，其包含两个共轭的结构$$
$$i)设\sigma =（1，2，3）\tau ,\tau 是一些对换的乘积,且\tau 与(1,2,3)不交换$$
$$（1，2，3）\ast （1，2，3）=（1，3，2）,{\sigma }^2=（1，3，2）{\tau }^2$$
$$ii)设\sigma =(1，2，3)(4,5,6)\tau ,\tau 是一些对换的乘积,则(1,2,3,4,5)\in H$$
$$iiii)设\sigma =（1，2，3）\tau ,\tau 是一些对换的乘积$$
$$iv)设\sigma =(1,2)(3,4)\tau$$

https://tieba.baidu.com/p/6499330369
https://blog.youkuaiyun.com/oldlinux/article/details/77586643
https://zhidao.baidu.com/question/250224741.html

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1. 60阶单群同构于A5的证明:https://www.cnblogs.com/qq3232361332/p/6054300.html ↩︎