Dijkstra和Prim算法 【含数学证明】

#ACM&算法

不知是不是因为自己的抽象学习能力还是不够强，之前在翻阅别人博客学习这两个算法的时候，整个人一直处于懵逼状态。

分析了一下，发现之前存在的博客教程，大多趋向于方法讲解，学完以后有知其然不知其所以然的感觉。另一部分博客则偏向数学证明，语言严谨但理解起来确实要费一番功夫。所以打算尝试一下在下文里以解决一个问题的方式讲解这两个算法。

在敲算法之前先阐明一下这两个算法所能解决的问题，先从Dijkstra开始。

举个栗子

我们现在拿到了一张无向图，如下：

这是一个由7个节点和10条边组成的无向图。每条路上的数字代表这条路的长度。

现在任选其中两个点，我们需要找到一条路把它们连起来，并使这条路尽可能的短。

根据动态规划的思路，我们把这个问题化解成一个较小的问题去解决。我们将挑选两个紧挨着（有边直接相连）的点，A和B。

显而易见，如果从A到B有一条路能联通的话，那这条路只有两种可能：

1，这条路只有一条边，直接连接A和B。

2，这条路有多条边，从A出发，经过其他点中转，到达B。

那我们分别来讨论。

这两种方法的共同点就是，都要从A点出发。而从A点出发的路是有限的。那也就是说，如果从A出发直达B的这条路是从A出发所有路中最短的一条，那么这条路一定是AB间的 最短路。

证明也很简单，因为 所有路的长度都是正数，所以如果有另一条路从A出发绕过某些点到达B的话，那它一定会在从A出发的所有路的长度的基础上再加上一些数（至少为0）。也就绝对不可能小于AB直接连接的长度。

如下：