归纳法证明prim算法

1. 选择第一个边的时候，选择的是权值最小的边，显然，该边是最优解的一部分

否则，我们将该边加到最小生成树中，则形成回路，让该边取代回路中比这个最小边权值大的边，仍然得到最生成树，但该生成树比所得到的最小生成树还要小，这与假设矛盾

因此第一次选取的最小边，一定是最小生成树的一部分；

2.现在我们假设选取的前s边是最小生成树的一部分，这些边连接的节点记做n1，n2，...，ns-1

按照prim算法，我们将选择和这s-1个点相连的所有边中的最小边，作为下一个确定的最优边，我们仍然用反证法证明，这种选取方法确实是最优边。

设未确定最小边相连的已确定节点是nk，假设不是，那么，该未确定最小边一定和最小生成树构成回路，该回路某一边一定和n1，n2，...，ns-1中的两点相交，其中一点是nk，另一点设为ni，该回路中比存在与ni相邻的一条边比该未确定最小边大，用该未确定最小边代替这个比它大的这个边，结果仍然是生成树，该生成树比最小生成树还要小，这是矛盾的，因此，该未确定最小边一定是最优边。

3.综上，prim算法成立

注记：最小生成树不是唯一的，这在prim算法中，某个步骤会出现多个相同的未确定最小边，这时候，最小边选取不同，可能导致最小生成树不同。