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主方法只适用于特定的递归算法,当一个递归算法中一个问题可以拆解称若干个相同的子问题,每个子问题规模大小相同时可以运用主定理求得其时间复杂度。
此类递归算法有递归式 T ( n ) = a T ( n b ) + f ( n ) T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n) T(n)=aT(bn)+f(n),一个问题可以拆解称 a ( a ≥ 1 ) a(a≥1) a(a≥1)个相同的子问题,每个子问题规模大小为 1 b ( b ≥ 1 ) \frac{1}{b}(b≥1) b1(b≥1), f ( n ) f(n) f(n)为与规模相关的非递归部分的语句执行次数 ( f ( n ) 需 满 足 ∃ n 0 , 当 n ≥ n 0 时 , f ( n ) > 0 ) (f(n)需满足∃n_0,当n≥n_0时,f(n)>0) (f(n)需满足∃n0,当n≥n0时,f(n)>0)
主方法的运用有三种情形:我们知道递归的解空间是一个树,递归树叶节点的数量为 n log b a n^{\log_b a} nlogba,将 f ( n ) f(n) f(n)与 n log b a n^{\log_b a} nlogba进行比较(在渐进情况下),得到三种比较结果
1° f ( n ) < n log b a f(n)<n^{\log_b a} f(n)<nlogba
严谨表达为 f ( n ) = O ( n log b a − ε ) ( ε > 0 ) f(n)=O(n^{\log_b a-\varepsilon})(\varepsilon>0) f(n)=O(