最小生成树（MST）—— Kruskal算法

Kruskal算法主要对边进行贪心，经过变换还可以求最大生成树，还可以记录树的具体路径。

Kruskal算法基本思想：

初始状态时隐去图中所有边，这样图中每个顶点都自成一个连通块。

1. 对所有边权从小到大排序。
2. 按边权从小到大测试所有边，如果当前测试边所连接的两个结点不在同一个连通块中，则把这条测试边加入最小生成树中( 合并两个连通块 )；否则，将这条测试边舍弃。
3. 执行步骤2，直至最小生成树中的 边数等于 总结点数-1 或是 测试完所有边。

概况一下就是：每次选择图中最小边权的边，如果边的两个端点在不同的连通块中，就把这条边加入最小生成树中。

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伪代码

Kruskal()
{
	令最小生成树的边权之和为sum、最小生成树的当前边数为cnt;
	将所有边按边权从小到大排序;
	for(从小到大枚举所有边)
	{
		if(当前测试边的两个端点在不同的连通块中)
		{
			将该测试边加入最小生成树中;
			sum += 测试边边权;
			最小生成树的当前边数cnt加1;
			当边数cnt等于结点数减1时结束循环;
		}
	}
	return sum;
}

关于判断两结点是否处于同一连通块，可用并查集实现。

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完整代码：（计算最小生成树的边权和）

struct edge
{
	int u, v;
	int w;
}E[maxm];    //存放边            
int N, M, father[maxn];       //N为结点数，M为边数
bool cmp(const edge &a, const edge &b)
{
	return a.w < b.w;
}
void init()                   //并查集的初始化
{
	for (int i = 0; i < maxn; i++)
		father[i] = i;
}
int findFather(int x)         //查找根
{
	int root = x;
	while (father[root] != root)
		root = father[root];
		
	//路径压缩
	while (father[x] != x)
	{
		int t = x;
		x = father[x];
		father[t] = root;
	}
	
	return root;
}
int Kruskal(int r)
{
	int sum = 0,cnt=0;
	sort(E,E+M,cmp);
	init();
	for (int i = 0; i < M; i++)
	{
		int Fu = findFather(E[i].u);
		int Fv = findFather(E[i].v);
		if (Fu != Fv)
		{
			father[Fv] = Fu;
			sum += E[i].w;
			cnt++:
			if(cnt==N-1)
				break;
		}
	}
	//注意：若cnt最终不等于N-1，说明存在无法连通的结点
	return sum;
}

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PS. 摘自《算法笔记》