Camera Projection——相机投影

本文详细介绍了摄像机投影原理及坐标变换过程,包括透视投影、摄像机内外参数、仿射变换等内容,并给出了从世界坐标到图像坐标的完整转换流程。

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1. 基本概念




2. 投影








因此,我们该如何表示为矩阵方程?需要引入齐次坐标:



2.1 透视投影


2.2 世界->摄像机坐标变换













2.3 计算旋转矩阵简单方法









2.4 摄像机外部参数(R,T)



2.5 摄像机内部参数



仿射变换=线性变换+平移







“affine” transformation: it is  a type of 2D to 2D mapping defined by 6 parameters.



2.6 投影总结


本文参考链接:相机投影

### 相机投影公式在计算机视觉中的原理 相机投影公式的核心在于描述三维世界坐标系中的点如何通过相机内部参数矩阵 \( K \),外部参数矩阵 \( [R|t] \) 投影到二维图像平面上。这一过程涉及多个坐标系统的转换,具体包括: #### 坐标系统及其关系 1. **世界坐标系 (World Coordinate System)** 这是一个全局参考框架,通常用于定义场景中物体的位置和方向。 2. **摄像机坐标系 (Camera Coordinate System)** 它是以摄像机为中心的局部坐标系。任何点的世界坐标可以通过旋转和平移变换映射到此坐标系下[^1]。 3. **像平面坐标系 (Image Plane Coordinate System)** 此阶段进一步将摄像机坐标系下的点投影至成像传感器所在的平面。 4. **像素坐标系 (Pixel Coordinate System)** 将上一步得到的结果标准化并调整为实际图像上的离散位置表示方法。 整个流程可以用如下方程概括表达: \[ s\begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix}=K[R | t]\begin{bmatrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix}, \] 其中, - \(s\) 是缩放因子; - \(u,v\) 表示最终落在图片里的对应像素行列号; - 而\(X_w,Y_w,Z_w\) 则代表原始目标物所在真实环境当中的三维座標值。 上述模型不仅限于理论分析,在实践中有广泛用途比如极简视觉监控领域里提到的应用案例——利用最少数量的有效数据完成特定功能需求满足的同时还能实现能源独立运作的小型化设备设计思路展示出了巨大潜力[^2]。 下面给出一段简单的Python代码演示基本操作逻辑: ```python import numpy as np def project_points(K, R, t, points_3d): """ Projects 3D world coordinates into 2D image plane using camera matrix. Parameters: K : array_like(3x3), intrinsic parameter matrix of the camera. R : array_like(3x3), rotation component from extrinsic parameters. t : array_like(3,), translation vector part of extrinsics. points_3d : ndarray(Nx3), list of N 3-dimensional point locations. Returns: projected_points: Nx2 array containing corresponding pixel positions on the image. """ P = K @ np.hstack((R,t.reshape(-1,1))) # Forming Projection Matrix by combining intrinsics & extrinsics homog_coords = np.c_[points_3d,np.ones(len(points_3d))] # Convert to homogeneous coords adding '1's column at end img_homog = P@homog_coords.T # Apply transformation via multiplication with proj matrx uvw = img_homog / img_homog[-1,:] # Normalize dividing through last row element i.e., w-component return uvw[:2,:].T # Extract first two rows representing u-v pairs per input pt if __name__ == "__main__": # Example usage showing how this function works given some dummy values for matrices/vectors involved here... pass ```
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