依概率收敛和依分布收敛(附一道例题)

本文探讨了随机变量序列Xn~N(0,1/n)与固定随机变量X的关系,通过例题展示了Xn如何依概率和依分布收敛于X。通过计算概率和CDF的极限,证明了Xn在两种收敛方式下的收敛情况。

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写在前面

这几日做到一道和依分布和概率收敛的例题,感觉对加深理解很有帮助,因此也记录在博客上面。

随机变量的收敛

定义X1,⋯ ,XnX_1, \cdots, X_nX1,,Xn为随机变量序列,XXX是另一个随机变量,FnF_nFn表示XnX_nXn的CDF,FFF表示CDF。

依概率收敛

∀ϵ>0,n→∞,\forall \epsilon>0,n \rightarrow \infin,ϵ>0,n,P(∣Xn−X∣>ϵ)→0,\mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon) \rightarrow0,P(XnX>ϵ)0,则称XnX_nXn依概率收敛于XXX

依分布收敛

若对FFF任意连续的点ttt,有lim⁡n→∞Fn(t)=F(t)\lim_{n\rightarrow \infty}F_n(t)=F(t)nlimFn(t)=F(t)
则称XnX_nXn依分布收敛于XXX.

一个很有助于加深理解的例题

Xn∼N(0,1n)X_n \sim N(0, \frac{1}{n})XnN(0,n1)XXX为随机变量,分布为F(x)=0,ifX<0;F(x)=1,ifX≥0F(x)=0,if X<0;F(x)=1,if X \ge 0F(x)=0,ifX<0;F(x)=1,ifX0.

XnX_nXn是否依据概率或依分布收敛于X?

首先考虑依分布收敛,
Let Yn=nXn,s.t. Yn∼N(0,1).Let \ Y_n=\sqrt{n}X_n, s.t. \ Y_n \sim N(0,1).Let Yn=nXn,s.t. YnN(0,1).
F(x)=P(X≤x)=P(nX≤nx)=P(Y≤nx) F(x)=P(X \le x)=P(\sqrt{n}X \le \sqrt{n}x)\\ =P(Y \le \sqrt{n}x)F(x)=P(Xx)=P(nXnx)=P(Ynx)从而
lim⁡n→∞FY(nx)=0 ifx<0lim⁡n→∞FY(nx)=1 ifx>0 \lim_{n\rightarrow\infty}F_{Y}(\sqrt{n}x)=0 \ ifx<0 \\ \lim_{n\rightarrow\infty}F_{Y}(\sqrt{n}x)=1 \ ifx\gt0nlimFY(nx)=0 ifx<0nlimFY(nx)=1 ifx>0因此,以分布收敛于XXX。不考虑X=0X=0X=0的点是因为不是连续的点,不在定义所谈论的范围内。

其次考虑以概率收敛的问题:
P(∣Xn−X∣>ϵ)=P(Xn−X>ϵ)+P(Xn−X<−ϵ)=P(Xn>0+ϵ)+P(Xn<−ϵ)≤P(Xn>ϵ)+P(Xn≤−ϵ)≤1−Fn(ϵ)+Fn(−ϵ)→1−F(ϵ)+F(−ϵ)≤1−1+0=0 \begin{aligned} P(|X_n-X| > \epsilon) &= P(X_n-X> \epsilon) + P(X_n-X< -\epsilon)\\ &=P(X_n > 0+\epsilon) + P(X_n < -\epsilon) \\ &\le P(X_n>\epsilon) + P(X_n \le -\epsilon)\\ &\le 1-F_n(\epsilon)+F_n(-\epsilon)\\ &\rightarrow 1-F(\epsilon)+F(-\epsilon)\\ &\le 1-1+0=0 \end{aligned} P(XnX>ϵ)=P(XnX>ϵ)+P(XnX<ϵ)=P(Xn>0+ϵ)+P(Xn<ϵ)P(Xn>ϵ)+P(Xnϵ)1Fn(ϵ)+Fn(ϵ)1F(ϵ)+F(ϵ)11+0=0因此同样依概率收敛。其中,倒数第二个箭头是因为已经知道依分布收敛。

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