充分统计量，因子分解定理与Rao-Blackwewll定理

充分统计量

充分统计量的一种定义是：数据为$X^n$，如果给定充分统计量的一组取值$T(X^n=x^n)=t$，能够使得数据的分布不依赖于参数$\theta$，则$T$是充分统计量。

粗略的说，如果已经知道$T(x^n)$就可以计算似然函数，则该统计量是充分的。

例子

$X=(X_1,X_2)\sim Bernoulli(p)$，充分统计量是$T=X_1+X_2$。原因是给定任意T的取值，都可以知道数据的分布，而不依赖于参数$p$。

$T=0$时，两个数据取0的概率为1，其他为0。$T=1$，时，两者取1另一个取0的概率各自为0.5，其他情况为0。当$T=2$时，两者取1的概率为1，其他情况为0。

倘若统计量$T=X_1$，则不是充分统计量。例如当$T=0$时，只知道$X_1$取1的概率为0，而$X_2$取1的概率是参数$p$。

因子分解定理

$T$是充分统计量当且仅当存在$g(t,\theta )$和$h(x)$使得:f(xn;θ)=g(t(xn),θ)h(xn)f(x^n;\theta)=g(t(x^n),\theta)h(x^n)