线性空间和OI中的线性基

下面的所有知识均属线性代数范畴。

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基础知识

• 线性空间

指关于向量加法和标量乘法两个运算封闭的向量集。

• 表出

如果若干向量 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$，能够通过向量加法和标量乘法生成向量 $b$，即 $v_1{a}_1+v_2{a}_2+\cdots v_k{a}_k=b$（$v$ 为标量），则称向量 $b$ 能够被向量 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 表出，$b$ 也称为向量 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 的线性组合。

如果向量 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 所有的线性组合构成一个线性空间，那么 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 被称为其生成子集。

从空间上看，线性组合是向量 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 通过伸缩变换和首尾相接组成的一个新向量 $b$。

• 张成

线性空间内所有元素的所有线性组合构成的集合称为该线性空间的张成。

空间上看，所有的向量经过任意的伸缩变换可以组成若干个新的向量，它们将构成这些向量的张成。

注意一点：张成空间的维度一定小于等于所有向量组成空间的维度。

• 线性相关

任选线性空间中的若干个向量，如果其中存在一个向量能够被其它向量表出，则称这些向量线性相关，否则线性无关。

空间上看，如果每次加入一个向量，都会使得整个空间扩展一维，那么这些向量线性无关，否则线性相关。

一个很显然的结论：如果线性空间 $V$ 存在子集 $V^{\prime }$ 线性相关，那么 $V$ 线性相关；如果线性空间 $V$ 的所有子集 $V^{\prime }$ 线性无关，那么 $V$ 也线性无关。

• 基

对于线性空间 $V$，若存在一个线性无关子集 $S$，能够张成 $V$，称 $S$ 为 $V$ 的基，一般写作 $\mathfrak{B}$。我们一般只讨论其大小有限的情况，此时其大小被称为线性空间 $V$ 的维数（从空间角度看，维数实际上就是指基 $S$ 形成的空间维数）。

基存在下列性质：

1. $V$ 是 $\mathfrak{B}$ 的极小生成子集，只有 $\mathfrak{B}$ 能张成 $V$，而它的任何真子集都不张成全部的向量空间 $V$。
2. $\mathfrak{B}$ 是