24、MATLAB基础与应用：从棒球轨迹模拟到常用指令详解-优快云博客

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MATLAB基础与应用：从棒球轨迹模拟到常用指令详解

1. 棒球轨迹模拟分析

1.1 无空气阻力情况

当设置空气阻力系数 c 为 0，且初始速度设为 [80, 80] 时，球会遵循常见的抛物线轨迹。球在落地前大约飞行 400 英尺，这在大多数棒球场中接近本垒打的距离。通过另外两个示波器，我们可以读取飞行时间和最终速度，球在空中停留约 5 秒，落地时的速度约为 115 英尺/秒。

1.2 考虑空气阻力（c = 0.0017）

当考虑空气阻力，且 c = 0.0017 时，轨迹发生了巨大变化。球仅飞行约 270 英尺，其最高点约为 80 英尺，大约 4.5 秒后落地，最终速度仅约为 80 英尺/秒，这对中外野手的接球手来说比无空气阻力的情况要温和得多。

1.3 不同空气阻力系数（c = 0.0014，丹佛）

当 c = 0.0014 （对应在丹佛打球）时，球飞行约 285 英尺，比在海平面打球远约 15 英尺。对于一些大力击球，这额外的 15 英尺可能决定是出局还是本垒打。飞行时间有非常小的增加，最终速度稍快，约为 83 英尺/秒。根据美国职业棒球大联盟的统计数据，在丹佛的击球率通常会更高。

下面是不同情况的对比表格：
| 空气阻力系数（c） | 飞行距离（英尺） | 飞行时间（秒） | 最终速度（英尺/秒） |
| — | — | — | — |
| 0 | 400 | 5 | 115 |
| 0.0017 | 270 | 4.5 | 80 |
| 0.0014 | 285 | 稍增加 | 83 |

1.4 模拟流程

graph LR
    A[设置初始条件] --> B[无空气阻力模拟]
    A --> C[考虑空气阻力模拟（c = 0.0017）]
    A --> D[考虑空气阻力模拟（c = 0.0014）]
    B --> E[记录飞行距离、时间和速度]
    C --> E
    D --> E
    E --> F[对比分析结果]

2. MATLAB常用对象概述

MATLAB 中的常用对象可分为六类：运算符、内置常量、内置函数、命令、图形命令和 MATLAB 编程结构。虽然 MATLAB 不区分命令和函数，但我们可以将 MATLAB 函数看作数学函数，它可以被求值或绘图；而命令则用于操作数据、表达式或启动某个过程。

2.1 MATLAB运算符

运算符	描述	示例
`\`	左矩阵除法， `X = A\B` 是方程 `A*X = B` 的解	`A = [1 0; 2 1]; B = [3; 5]; A\B`
`/`	普通标量除法或右矩阵除法，对于矩阵， `A/B` 本质上等同于 `A*inv(B)`	-
`*`	标量或矩阵乘法	-
`.`	与算术运算符结合使用，强制对数组进行逐元素操作，也用于访问结构体数组的字段	`a = [1 2 3]; b = [4 -6 8]; a.*b`
`.*`	数组的逐元素乘法	-
`^`	标量或矩阵幂运算	-
`.^`	数组的逐元素幂运算	-
`:`	范围运算符，用于定义向量和矩阵	`X = 0:0.1:30;`
`'`	矩阵的复共轭转置，也用于界定字符串的开始和结束	-
`;`	抑制 MATLAB 命令的输出，可用于分隔命令行上的命令，也用于分隔矩阵或列向量的行	`[1; 2; 3]`
`,`	分隔矩阵行的元素或命令的参数，也可用于分隔命令行上的命令	-
`.'`	矩阵的转置	-
`...`	行继续运算符，不能在引号字符串内使用	`1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ... + 13 + 15 + 17`
`!`	从操作系统运行命令	`!C:\Programs\program.bat`
`%`	注释，MATLAB 将忽略同一行的其余部分	-
`@`	创建函数句柄	`fminbnd(@cos, 0, 2*pi)`

2.2 内置常量

eps ：大约是计算机浮点舍入误差的大小，在大多数计算机上约为 2 × 10−16 。
exp(1) ： e = 2.71828 ... ，注意 e 没有特殊含义。
i ： i = √−1 ，这个赋值可以被覆盖，例如在 for 循环中使用 i 作为索引时，可使用 j 作为虚数单位。
Inf ： ∞ ，也可以用小写 inf 。
NaN ：非数字，用于不确定的表达式，如 0/0 。
pi ： π = 3.14159 ... 。

2.3 内置函数

以下是一些常见的内置函数：
- abs ： |x|
- acos ： arccos x
- asin ： arcsin x
- atan ： arctan x ，如果需要点 (x, y) 的角坐标 θ ，请使用 atan2
- bessel ：贝塞尔函数， besselj(n, x) 和 bessely(n, x) 是 n 阶贝塞尔方程的线性无关解
- conj ：给出复数的复共轭，例如 conj(1 - 5*i)
- cos ： cos x
- cosh ： cosh x
- cot ： cot x
- erf ：误差函数 erf(x) = (2/√π) ∫₀ˣ e⁻ᵗ² dt
- exp ： eˣ
- expm ：矩阵指数
- gamma ：伽马函数 Γ(x) = ∫₀^∞ e⁻ᵗtˣ⁻¹dt （当 Re x > 0 时），对于非负整数 k ， Γ(k + 1) = k! 有时很有用
- imag ： imag(z) ，复数的虚部
- log ：自然对数 ln x = logₑ x
- real ： real(z) ，复数的实部
- sec ： sec x
- sech ： sech x
- sign ：根据参数为负、零或正返回 -1 、 0 或 1
- sin ： sin x
- sinh ： sinh x
- sqrt ： √x
- tan ： tan x
- tanh ： tanh x

2.4 MATLAB命令

MATLAB 命令用于操作数据和执行各种任务，以下是一些常见命令及其示例：
- addpath ：将指定目录添加到 MATLAB 的文件搜索路径，例如 addpath C:\my--mfiles
- ans ：一个变量，保存最近未赋值输出的值
- cd ：将指定目录设置为当前（工作）目录，例如 cd C:\mydocs\mfiles
- char ：将符号表达式转换为字符串，用于定义内联函数，例如：

syms x y
f = inline(char(sin(x)*sin(y)))

clear ：清除变量和函数的值和定义，如果指定一个或多个变量，则仅清除这些变量，例如 clear 或 clear f g
collect ：收集指定符号变量的幂的系数，例如：

syms x y
collect(x^2 - 2*x^2 + 3*x + x*y, x)

compose ：函数组合，例如：

syms x y; f = exp(x); g = sin(y); h = compose(f, g)

ctranspose ：矩阵的共轭转置，通常使用 ' 运算符调用，对于实矩阵等同于 transpose ，例如：

A = [1 3 i]
A'

D ：用于 dsolve 中表示微分，例如 dsolve('x*Dy + y = sin(x)', 'x')
delete ：删除文件，例如 delete <filename>
det ：矩阵的行列式，例如 det([1 3; 4 5])
diag ：创建具有指定对角向量的方阵，或提取方阵的对角线元素，例如：

V = [2 3 4 5]; diag(V)
X = [2 3; 4 5]; diag(X)

diary ：将 MATLAB 会话的记录写入文件，例如 diary <filename> 和 diary off
diff ：符号微分运算符（也是差分运算符），例如：

syms x; diff(x^3)
diff('x*y^2', 'y')

dir ：列出当前工作目录中的文件，类似于 ls
disp ：显示输出而不先给出其名称，例如：

x = 5.6; disp(x)
syms x; disp(x^2)
disp('This will print without quotes.')

double ：为数值或符号量提供双精度值，应用于字符串时，返回字符串中字符的 ASCII 码向量，例如：

z = sym('pi'); double(z)
double('think')

dsolve ：符号常微分方程求解器，默认独立变量是 t ，但可以在最后一个参数中指定不同的变量，例如：

dsolve('D2y - x*y = 0', 'x')
dsolve('Dy + y^2 = 0', 'y(0) = 1', 'x')
[x, y] = dsolve('Dx = 2x + y', 'Dy = - x')

echo ：打开或关闭脚本 M 文件中命令的回显
edit ：在编辑器/调试器中打开指定的 M 文件，例如 edit mymfile
eig ：计算方阵的特征值和特征向量，例如：

eig([2, 3; 4, 5])
[e, v] = eig([1, 0, 0; 1, 1, 1; 1, 2, 4])

end ：向量的最后一个元素，也是一个编程命令，例如 v(end) 或 v(3:end)
eval ：用于将字符串作为 MATLAB 表达式求值，在 M 文件中很有用，例如 eval('cos(x)')
expand ：展开代数表达式，例如：

syms x y; expand((x - y)^2)

eye ：创建指定大小的单位矩阵，例如 eye(5)
factor ：分解多项式，例如：

syms x y; factor(x^4 - y^4)

feval ：计算由字符串指定的函数，在函数 M 文件中很有用，例如 feval('exp', 1)
find ：查找向量或矩阵中非零元素的索引，例如 X = [2 0 5]; find(X)
fminbnd ：在区间上找到函数的最小（近似）值，例如：

fminbnd('x^4 - x^2 + 1', 0, 1)
f = inline('x^3 - 7*x^2 - 5*x + 2', 'x'); fminbnd(f, 4, 6)

format ：指定数值变量的输出格式，例如 format long
fzero ：尝试在给定起始点附近或指定区间上找到指定函数的零点，例如：

fzero(inline('cos(x) - x'), 1)
fzero(@cos, [-pi 0])

guide ：打开 GUI 设计环境，例如 guide mygui
help ：请求 MATLAB 命令的文档，例如 help factor
inline ：从字符串表达式构造 MATLAB 内联函数，例如：

f = inline('x^5 - x'); f(3)
sol = dsolve('Dy = x^2 + y', 'y(0) = 2', 'x');
fsol = inline(vectorize(sol), 'x')

int ：积分运算符，用于定积分和不定积分，例如：

int('1/(1 + x^2)', 'x')
syms x; int(exp(-x), x, 0, Inf)

inv ：方阵的逆，例如 inv([1 2; 3 5])
jacobian ：计算雅可比矩阵，对于标量函数，计算符号梯度，例如：

syms x y; f = x^2*y^3; jacobian(f)

length ：返回向量或字符串的元素个数，例如 length('abcde')
limit ：求双侧极限，如果存在的话，使用 'right' 或 'left' 求单侧极限，例如：

syms x; limit(sin(x)/x, x, 0)
syms x; limit(1/x, x, Inf, 'left')

linspace ：生成线性间隔的点的向量，例如 linspace(0, 2*pi, 30)
load ：从磁盘文件加载工作区变量，例如 load filename
lookfor ：在 MATLAB 路径中找到的所有 M 文件的第一行中搜索指定字符串，例如 lookfor ode
ls ：列出当前工作目录中的文件，类似于 dir
maple ：通过字符串访问 Maple 内核，通常以 maple('function', 'arg') 的形式使用，学生版不可用，例如 maple('help', 'csgn')
max ：计算向量元素的算术最大值，例如 X = [3 5 1 -6 23 -56 100]; max(X)
mean ：计算向量元素的算术平均值，例如：

X = [3 5 1 -6 23 -56 100]; mean(X)
syms x y z; X = [x y z]; mean(X)

median ：计算向量元素的算术中位数，例如 X = [3 5 1 -6 23 -56 100]; median(X)
min ：计算向量元素的算术最小值，例如 X = [3 5 1 -6 23 -56 100]; min(X)
more ：打开或关闭 MATLAB 输出的逐页滚动，使用空格键前进到下一页，回车键逐行前进，Q 键中止输出，例如 more on 和 more off
notebook ：打开 M 书（仅适用于 Windows），例如 notebook problem1.doc 和 notebook -setup
num2str ：将数字转换为字符串，在编程中很有用，例如 constant = ['a' num2str(1)]
ode45 ：一阶常微分方程的数值求解器，例如：

f = inline('t^2 + y', 't', 'y')
[x, y] = ode45(f, [0 10], 1);
plot(x, y)

ones ：创建全为 1 的矩阵，例如 ones(3) 或 ones(3, 1)
open ：打开文件，具体方式取决于文件名扩展名，例如 open myfigure.fig
path ：不带参数时，显示搜索路径；带参数时，设置搜索路径，例如 path 或 path(...)
pretty ：以更易读的格式显示符号表达式，例如：

syms x y; expr = x/(x - 3)/(x + 2/y)
pretty(expr)

prod ：计算向量元素的乘积，例如 X = [3 5 1 -6 23 -56 100]; prod(X)
pwd ：显示当前（工作）目录的名称
quadl ：数值积分命令，在 MATLAB 5.3 或更早版本中使用 quad8 ，例如：

format long; quadl('sin(exp(x))', 0, 1)
g = inline('sin(exp(x))'); quad8(g, 0, 1)

quit ：终止 MATLAB 会话
rand ：随机数生成器，生成 0 到 1 之间的随机数
rank ：矩阵的秩，例如 A = [2 3 5; 4 6 8]; rank(A)
roots ：找到多项式的根，多项式的系数由向量参数的元素给出，例如 roots([1 2 2])
round ：将数字四舍五入到最接近的整数
save ：将工作区变量保存到指定文件，例如 save filename
sim ：运行 SIMULINK 模型，例如 sim('model')
simple ：尝试使用多种方法简化表达式，例如：

syms x y;[expression, how] = simple(sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y))

simplify ：尝试符号简化表达式，例如：

syms x; simplify(1/(1 + x)^2 - 1/(1 - x)^2)

simulink ：打开 SIMULINK 库
size ：返回矩阵的行数和列数，例如：

A = [1 3 2; 4 1 5]
[r, c] = size(A)

solve ：求解方程或方程组，如果省略方程的右侧，则默认为 0 ，例如：

solve('2*x^2 - 3*x + 6')
[x, y] = solve('x + 3*y = 4', '-x - 5*y = 3', 'x', 'y')

sound ：通过计算机扬声器播放向量，例如 sound(sin(0:0.1*pi:1000*pi))
strcat ：连接两个或多个字符串，例如 strcat('This ', 'is ', 'a ', 'long ', 'string.')
str2num ：将字符串转换为数字，在编程中很有用，例如：

constant = 'a7'
index = str2num(constant(2))

subs ：替换表达式的部分内容，例如：

subs('x^3 - 4*x + 1', 'x', 2)
subs('sin(x)^2 + cos(x)', 'sin(x)', 'z')

sum ：对向量求和，或对矩阵的列求和，例如 k = 1:10; sum(k)
sym ：创建符号变量或数字，例如 sym pi 或 x = sym('x') 或 constant = sym('1/2')
syms ：创建符号变量的快捷方式， syms x 等同于 x = sym('x') ，例如 syms x y z
symsum ：对向量进行符号求和，可能有无限多个元素，例如：

syms x k n; symsum(x^k, k, 0, n)
syms n; symsum(n^(-2), n, 1, Inf)

taylor ：给出指定阶数（默认是 5）在指定点（默认是 0）的泰勒多项式逼近，例如：

syms x; taylor(cos(x), 8, 0)
taylor(exp(1/x), 10, Inf)

transpose ：矩阵的转置（与 ctranspose 比较），将列向量转换为行向量，反之亦然，通常使用 .' 运算符调用，例如：

A = [1 3 4]
A.'

type ：显示指定文件的内容，例如 type myfile.m
vectorize ：向量化符号表达式，用于定义内联函数，例如 f = inline(vectorize('x^2 - 1/x'))
vpa ：使用可变精度算术将表达式求值到指定的精度，例如 vpa('1/3', 20)
whos ：列出工作区中所有变量的当前信息
zeros ：创建全为 0 的矩阵，例如 zeros(10) 或 zeros(3, 1)

3. MATLAB 图形命令详解

MATLAB 的图形命令可以帮助我们直观地展示数据和函数，下面详细介绍一些常见的图形命令。

3.1 图形命令列表

命令	描述	示例
`area`	生成 x 轴和曲线之间区域的阴影图	`X = 0:0.1:4*pi; Y = sin(X); area(X, Y)`
`axes`	创建一个空的图形窗口	-
`axis`	设置坐标轴的缩放和外观	`axis([xmin xmax ymin ymax])` ：设置坐标轴范围； `axis tight` ：将坐标轴限制设置为数据的全范围； `axis equal` ：使水平和垂直刻度相等； `axis square` ：使坐标轴框为正方形； `axis off` ：隐藏坐标轴和刻度标记
`bar`	绘制条形图	`bar([2, 7, 1.5, 6])`
`cla`	清除坐标轴	-
`close`	关闭当前图形窗口； `close all` 关闭所有图形窗口	-
`colormap`	设置当前图形的颜色映射；可通过 `help graph3d` 查看颜色映射示例	`X = 0:0.1:4*pi; Y = sin(X); colormap cool`
`comet`	显示动画参数化绘图	`t = 0:0.1:4pi; comet(t.cos(t), t.*sin(t))`
`contour`	绘制二元函数的等高线图，通常与 `meshgrid` 一起使用	`[X, Y] = meshgrid(-3:0.1:3, -3:0.1:3); contour(X, Y, X.^2 - Y.^2)`
`contourf`	填充等高线图，常与 `colormap` 一起使用	`[X,Y] = meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2); contourf(X, Y, X.^2 - Y.^3); colormap autumn`
`ezcontour`	轻松绘制等高线或水平曲线	`ezcontour('x^2 - y^2')` ； `syms x y; ezcontour(x - y^2)`
`ezmesh`	轻松绘制曲面的网格视图	`ezmesh('x^2 + y^2')` ； `syms x y; ezmesh(x*y)`
`ezplot`	轻松绘制符号表达式的图形	`ezplot('exp(-x^2)', [-5, 5])` ； `syms x; ezplot(sin(x))`
`ezplot3`	轻松绘制三维参数曲线	`ezplot3('cos(t)', 'sin(t)', 't')` ； `syms t; ezplot3(1 - cos(t), t - sin(t), t, [0 4*pi])`
`ezsurf`	轻松绘制曲面的标准阴影视图	`ezsurf('(x^2 + y^2)exp(-(x^2 + y^2))')` ； `syms x y; ezsurf(sin(xy), [-pi pi -pi pi])`
`figure`	创建一个新的图形窗口	-
`fill`	创建填充多边形，也可参考 `patch`	`fill([0 1 1 0], [0 0 1 1], 'b'); axis equal tight`

3.2 图形绘制流程

graph LR
    A[定义数据] --> B[选择图形类型]
    B --> C[设置图形属性]
    C --> D[绘制图形]
    D --> E[显示图形]

4. MATLAB 使用示例总结

4.1 综合示例：求解并绘制微分方程

以下是一个综合使用 MATLAB 命令求解并绘制微分方程的示例：

% 定义微分方程
f = inline('t^2 + y', 't', 'y');

% 求解微分方程
[x, y] = ode45(f, [0 10], 1);

% 绘制解的图形
plot(x, y);
xlabel('t');
ylabel('y');
title('Solution of the differential equation');

4.2 操作步骤总结

定义微分方程 ：使用 inline 函数定义微分方程。
求解微分方程 ：使用 ode45 函数求解微分方程，指定时间范围和初始条件。
绘制图形 ：使用 plot 函数绘制解的图形，并使用 xlabel 、 ylabel 和 title 函数添加坐标轴标签和标题。

4.3 MATLAB 常用对象总结

类别	示例对象
运算符	`\` , `/` , `` , `.` , `.` , `^` , `.^` , `:` , `'` , `;` , `,` , `.'` , `...` , `!` , `%` , `@`
内置常量	`eps` , `exp(1)` , `i` , `Inf` , `NaN` , `pi`
内置函数	`abs` , `acos` , `asin` , `atan` , `bessel` , `conj` , `cos` , `cosh` , `cot` , `erf` , `exp` , `expm` , `gamma` , `imag` , `log` , `real` , `sec` , `sech` , `sign` , `sin` , `sinh` , `sqrt` , `tan` , `tanh`
命令	`addpath` , `ans` , `cd` , `char` , `clear` , `collect` , `compose` , `ctranspose` , `D` , `delete` , `det` , `diag` , `diary` , `diff` , `dir` , `disp` , `double` , `dsolve` , `echo` , `edit` , `eig` , `end` , `eval` , `expand` , `eye` , `factor` , `feval` , `find` , `fminbnd` , `format` , `fzero` , `guide` , `help` , `inline` , `int` , `inv` , `jacobian` , `length` , `limit` , `linspace` , `load` , `lookfor` , `ls` , `maple` , `max` , `mean` , `median` , `min` , `more` , `notebook` , `num2str` , `ode45` , `ones` , `open` , `path` , `pretty` , `prod` , `pwd` , `quadl` , `quit` , `rand` , `rank` , `roots` , `round` , `save` , `sim` , `simple` , `simplify` , `simulink` , `size` , `solve` , `sound` , `strcat` , `str2num` , `subs` , `sum` , `sym` , `syms` , `symsum` , `taylor` , `transpose` , `type` , `vectorize` , `vpa` , `whos` , `zeros`
图形命令	`area` , `axes` , `axis` , `bar` , `cla` , `close` , `colormap` , `comet` , `contour` , `contourf` , `ezcontour` , `ezmesh` , `ezplot` , `ezplot3` , `ezsurf` , `figure` , `fill`