23、数学与编程实践问题解析

于 2025-11-24 13:48:08 发布
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分类专栏： MATLAB从入门到精通 文章标签： 金融计算 棒球击球模拟 矩阵特征值
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数学与编程实践问题解析

1. 金融计算问题

1.1 账户金额计算

  • 若账户初始金额为 (M)，月利率为 (J)，则 (n) 个月后账户金额 (T = M(1 + J)^n)。
  • 若每月存入 (S) 美元，初始金额为 (0)，(n) 个月后账户金额 (T = S\left[\frac{(1 + J)^{n + 1}-1}{J}-1\right])。
  • 若账户初始金额为 (M)，且每月存入 (S) 美元，(n) 个月后账户金额 (T = M(1 + J)^n+S\left[\frac{(1 + J)^{n + 1}-1}{J}-1\right])。

1.2 达到目标金额的时间计算

求解方程 ((1 + J)^n = 2)：
|利率 (J) |月数 |年数 |
| ---- | ---- | ---- |
| (0.05/12) | (166.70165674865177999568182581405) | (13.891804729054314999640152151171) |
| (0.1/12) | (83.523755900375880189555262964714) | (6.9603129916979900157962719137262) |

可以看出，若将利率翻倍，达到目标（金额翻倍）的时间大致减半。

1.3 每月存款金额计算

要在 35 年内达到 1000000 美元，年利率为 (0.08)，每月需存款 (433.06) 美元。代码如下： 

solve('1000000 = S*((((1 + (0.08/12))^(35*12 + 1) - 1)/(0.08/12)) - 1)')

1.4 工作年限计算

若每月存款 300 美元，年利率为 (0.08)，要达到 1000000 美元，需要工作约 (39.365038660862259454178324347717) 年，比之前的情况多工作近 5 年。代码如下： 

solve('1000000 = 300*((((1 + (0.08/12))^(n + 1) - 1)/(0.08/12)) - 1)')

1.5 一次性取款与分期取款比较

  • 一次性取款 65000 美元，20 年后可得约 (176322) 美元。代码： 
format bank; option1 = 65000*(1 + (.05/12))^(12*20)
  • 分期取款，每月取款 (333.33) 美元，20 年后可得约 (137582) 美元。代码： 
S = .8*(100000/240);
option2 = S*((1/(.05/12))*(((1 + (.05/12))^241) - 1) - 1)

显然，一次性取款是更好的策略。

1.6 市场投资与银行存款比较

  • 市场投资：给定利率序列 rates = [.13, .15, -.03, .05, .10, .13, .15, -.03, .05]; ，无论从哪个周期进入，5 年后 50000 美元的投资结果都约为 (72795) 美元。代码如下： 
rates = [.13, .15, -.03, .05, .10, .13, .15, -.03, .05];
clear T
for k = 0:4
    T = 50000;
    for j = 1:5
        T = T*(1 + rates(k + j));
    end
    disp([k + 1,T])
end
  • 银行存款：若将 50000 美元存入年利率为 8% 的银行账户，5 年后可得约 (73466) 美元，比市场投资收益好。代码： 
50000*(1.08)^5

若每年投资 10000 美元，不同进入周期的投资结果不同，且都小于一次性投资 50000 美元的收益。而银行模型在这种情况下的收益为 (6.3359\times10000) 美元，比部分市场投资模型结果好，比部分差。代码如下： 

format short
for k = 0:4
    T = ones(1, 5);
    for j = 1:5
        TT = 1;
        for m = j:5
            TT = TT*(1 + rates(k + m));
        end
        T(j) = TT;
    end
    disp([k + 1, sum(T)])
end
(1/.08)*(((1.08)^6) - 1) - 1

2. 棒球击球模拟问题

2.1 单次击球模拟

定义一个 M - 文件 atbat.m 来模拟单次击球： 

%This file simulates a single at bat.
%The variable r contains a ‘‘1” if Tony gets a hit,
%that is, if rand <= 0.339; and it contains a ‘‘0”
%if Tony fails to hit safely, that is, if rand > 0.339.
s = rand;
if s <= 0.339
    r = 1;
else
    r = 0;
end

2.2 单年击球平均模拟

通过调用 atbat.m 文件 500 次来模拟一年的击球情况，并计算平均击球率： 

function y = yearbattingaverage(n)
%This function file computes Tony’s batting average for
%a single year, by simulating n at bats, adding up the
%number of hits, and then dividing by n.
X = zeros(1, n);
for i = 1:n
    atbat;
    X(i) = r;
end
y = sum(X)/n;

调用 yearbattingaverage(500) 得到单年平均击球率为 (0.3200)。

2.3 20 年职业生涯模拟

编写一个 M - 文件 career.m 来模拟 20 年的职业生涯，并列出最佳、最差和终身平均击球率： 

function y = career(n,k)
%This function file computes the batting average for each
%year in a k-year career, asuming n at bats in each year.
%Then it lists the maximum, minimum, and lifetime average.
Y = zeros(1, k);
for j = 1:k
    Y(j) = yearbattingaverage(n);
end
disp(['Best avg: ', num2str(max(Y))])
disp(['Worst average: ', num2str(min(Y))])
disp(['Lifetime avg: ', num2str(sum(Y)/k)])

多次运行 career(500, 20) 后，计算五次不同 20 年职业生涯的平均击球率约为 (0.33904)，若运行 100 次取平均，结果可能更接近 (0.339)。

3. 矩阵特征值问题

求解矩阵 (A) 的最大特征值，代码如下： 

n = 500;
j = 1:n;
A = zeros(n);
for i = 1:n
    A(i,j) = 1./(i + j - 1);
end
max(eig(A))

得到最大特征值为 (2.3769)。

4. 图形绘制问题

绘制一系列嵌套的黑、白、红圈，代码如下： 

t = linspace(0, 2*pi, 100);
cla reset; hold on
for r = 21:-1:2
    if mod(r, 2)
        fill(r*cos(t), r*sin(t), 'k')
    else
        fill(r*cos(t), r*sin(t), 'w')
    end
end
fill(cos(t), sin(t), 'r')
axis equal; hold off

5. 最小公倍数问题

编写一个 M - 文件 mylcm.m 来计算多个数的最小公倍数： 

function m = mylcm(varargin)
nums = [varargin{:}];
if ~isnumeric(nums)
    any(nums ~= round(real(nums)))
    ...
    any(nums <= 0)
    error('Arguments must be positive integers.')
end
for k = 2:length(nums);
    nums(k) = lcm(nums(k), nums(k - 1));
end
m = nums(end);

示例： 

mylcm([4 5 6]) % 结果为 60
mylcm(6, 7, 12, 15) % 结果为 420
mylcm(4.5, 6) % 报错，参数必须为正整数
mylcm('a', 'b', 'c') % 报错，参数必须为正整数

6. 线性规划问题 - 城市拉票问题

6.1 问题设定

设 (w)、(x)、(y)、(z) 分别为在 Gotham、Metropolis、Oz 和 River City 走访的住宅数量，有以下线性不等式约束：
- 非负约束：(w\geq0)，(x\geq0)，(y\geq0)，(z\geq0)。
- 宣传册约束：(w + x + y + z\leq50000)。
- 旅行成本约束：(0.5w + 0.5x + y + 2z\leq40000)。
- 时间约束：(2w + 3x + y + 4z\leq18000)。
- 偏好约束：(w\leq x)，(x + y\leq z)。
- 捐款约束：(w + 0.25x + 0.5y + 3z\geq10000)。
要最大化的目标函数为选民支持：(0.6w + 0.6x + 0.5y + 0.3z)。

6.2 求解过程 

f = [-0.6 -0.6 -0.5 -0.3];
A = [1 1 1 1; 0.5 0.5 1 2; 2 3 1 4; 1 -1 0 0; 0 1 1 -1; -1 - 0.25 -0.5 -3; -1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 -1];
b = [50000; 40000; 18000; 0; 0; -10000; 0; 0; 0; 0];
simlp(f, A, b)

结果显示，Jane 应在 Gotham 和 Metropolis 各走访 1268 处住宅，在 Oz 走访 1317 处住宅，在 River City 走访 2585 处住宅。

6.3 时间和捐款条件变化

  • 若时间分配翻倍： 
b = [50000; 40000; 36000; 0; 0; -10000; 0; 0; 0; 0];
simlp(f, A, b)

Jane 应在 Gotham、Metropolis 和 River City 各走访 4000 处住宅，忽略 Oz。
- 若还需筹集 20000 美元捐款： 

b = [50000; 40000; 36000; 0; 0; -20000; 0; 0; 0; 0];
simlp(f, A, b)

Jane 需要在 Gotham 和 Metropolis 各走访 2537 处住宅，在 Oz 走访 2634 处住宅，在 River City 走访 5171 处住宅。

7. 线性规划问题 - 教练时间分配问题

7.1 问题设定

设 (w)、(x)、(y)、(z) 分别为 Nerv 与四分卫、跑卫、接球手和线卫相处的时间，有以下线性不等式约束：
- 非负约束：(w\geq0)，(x\geq0)，(y\geq0)，(z\geq0)。
- 时间约束：(w + x + y + z\leq50)。
- 得分约束：(0.5w + 0.3x + 0.4y + 0.1z\geq20)。
- 批评约束：(w + 2x + 3y + 0.5z\leq75)。
- 明星地位约束：(x = y)，(w\geq x + y)，(x\geq z)。
要最大化的目标函数为个人满意度：(0.2w + 0.4x + 0.3y + 0.6z)。

7.2 求解过程 

f = [-0.2 -0.4 -0.3 -0.6];
A = [1 1 1 1; -0.5 -0.3 -0.4 -0.1; 1 2 3 0.5; 0 -1 1 0; 0 1 -1 0; -1 1 1 0; 0 -1 0 1; -1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 -1];
b = [50; -20; 75; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];
simlp(f, A, b)

结果显示，Nerv 应与跑卫和接球手各相处 7.5 小时，与线卫相处 6.9 小时，大部分时间（28.1 小时）与四分卫相处。

7.3 得分和批评条件变化

  • 若球队只需 15 分就能获胜： 
b = [50; -15; 75; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];
simlp(f, A, b)

Nerv 可以更平均地分配时间，与跑卫、接球手和线卫各相处 10 小时，仍需大部分时间（20 小时）与四分卫相处。
- 若批评数量减少到 70： 

b = [50; -15; 70; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];
simlp(f, A, b)

Nerv 需与四分卫相处 (18\frac{2}{3}) 小时，与其他三组各相处 (9\frac{1}{3}) 小时，总时间小于 50 小时，有空闲时间。

8. 电路问题

8.1 电压和电流计算

给定方程 (f = x - V_0+R I_0\exp(x/V_T))，当 (V_0 = 1.5)，(R = 1000)，(I_0 = 10^{-5})，(V_T = 0.0025) 时： 

syms V0 R I0 VT x
f = x - V0 + R*I0*exp(x/VT);
VD = fzero(char(subs(f, [V0, R, I0, VT], [1.5, 1000, 10^(-5), .0025])), [0, 1.5]);
I = (1.5 - VD)/1000;

得到电压 (V_D = 0.0125)，电流 (I = 0.0015)。

8.2 参数变化对电压的影响

  • 当 (I_0) 减半时，电压略有上升。 
g = subs(f, [V0, R], [1.5, 1000]);
fzero(char(subs(g, [I0, VT], [(1/2)*10^(-5), .0025])), [0, 1.5])
  • 当 (V_T) 减半时，需调整区间才能求解，电压下降。 
fzero(char(subs(g, [I0, VT], [10^(-5), .0025/2])), [0, 0.5])
  • 当 (I_0) 和 (V_T) 都减半时，电压介于上述两种情况之间。 
fzero(char(subs(g, [I0, VT], [(1/2)*10^(-5), .0025/2])), [0, 0.5])
  • 当 (I_0) 和 (V_T) 按比例变化时，绘制对数 - 对数图，斜率约为 1，呈线性关系。 
syms u
h = subs(g, [I0, VT], [10^(-5)*u, 0.0025*u]);
X = zeros(6);
I = zeros(6);
for j = 0:5
    X(j + 1) = fzero(char(subs(h, u, 10^(-j))), [0, 10^(-j - 1)]);
    I(j + 1) = 10^(-j - 5);
end
loglog(I, X)

9. 微分方程问题

9.1 求解微分方程

求解微分方程 (\frac{dx}{dt}=x - x^2) 及其初值问题： 

dsolve('Dx = x - x^2') % 通解为 1/(1+exp(-t)*C1)
syms x0; sol = dsolve('Dx = x - x^2', 'x(0) = x0') % 初值问题解为 1/(1-exp(-t)*(-1+x0)/x0)

该解包含零解。

9.2 绘制解曲线

绘制不同初值下的解曲线： 

T = 0:0.1:5;
hold on
solcurves = inline(vectorize(bettersol), 't', 'x0');
for initval = 0:0.25:2.0
    plot(T, solcurves(T, initval))
end
axis tight
title 'Solutions of Dx = x - x^2, with x(0) = 0, 0.25,..., 2'
xlabel 't'
ylabel 'x'
hold off

图形显示，初值为 0 的解保持为 0，其他解趋向于常数解 1。

9.3 二维微分方程组问题

考虑二维微分方程组 (\begin{cases}\frac{dx}{dt}=x - x^2-0.5xy\\frac{dy}{dt}=y - y^2-0.5xy\end{cases}) 和 (\begin{cases}\frac{dx}{dt}=x - x^2-2xy\\frac{dy}{dt}=y - y^2-2xy\end{cases})。
- 对于第一个方程组，绘制相图： 

clear all; close all; hold on
f = inline('[x(1) - x(1)^2 - 0.5*x(1)*x(2); x(2) - x(2)^2 - 0.5*x(1)*x(2)]', 't', 'x');
for a = 0:1/12:13/12
    for b = 0:1/12:13/12
        [t, xa] = ode45(f, [0 3], [a,b]);
        plot(xa(:, 1), xa(:, 2))
        echo off
    end
end
axis([0 13/12 0 13/12])

若两种群初始都存在，最终趋向于 ((\frac{2}{3},\frac{2}{3}))；若只有一种群初始存在，趋向于 ((1,0)) 或 ((0,1))，该模型可称为“和平共存”模型。
- 对于第二个方程组，绘制相图： 

close all; hold on
f = inline('[x(1) - x(1)^2 - 2*x(1)*x(2); x(2) - x(2)^2 - 2*x(1)*x(2)]', 't', 'x');
for a = 0:1/12:13/12
    for b = 0:1/12:13/12
        [t, xa] = ode45(f, [0 3], [a,b]);
        plot(xa(:, 1), xa(:, 2))
        echo off
    end
end
axis([0 13/12 0 13/12])

大部分曲线趋向于 ((1,0)) 或 ((0,1))，若两种群初始数量不等，小种群会灭绝；若初始数量相近，趋向于 ((\frac{1}{3},\frac{1}{3}))，该模型可称为“末日”模型。

10. SIMULINK 模型问题

10.1 摆锤问题

使用 SIMULINK 模型重做第 9 章的摆锤应用，给定初始条件 (x(0) = 0)，(\dot{x}(0)=10)，XY 图形块显示相图，示波器块显示 (x) 关于 (t) 的图形。

10.2 棒球运动问题

使用 SIMULINK 模型研究棒球的运动方程，其工作原理如下：
1. 左上角的积分器块将加速度（向量）积分得到速度（向量），初始速度在“初始速度”常数块中定义。
2. 第一个积分器的输出进入第二个积分器，将速度积分得到位置（向量），位置的初始条件 ([0, 4]) 存储在第二个积分器的参数中。
3. 位置向量输入到解复用器块，分离出水平和垂直分量，分别输入到 XY 图形块和示波器块，以观察球的高度随时间的变化。
4. 最难的部分是计算加速度 (\ddot{x}=[0, -g]-c|\dot{x}|\dot{x})，通过左下角的求和块将两项相加得到，其中 ([0, -g]) 的值存储在“重力”常数块中，第二项在“计算阻力加速度”乘积块中计算，速度的大小通过点积和平方根计算。

11. 各问题总结与对比

11.1 金融计算问题总结

问题类型 关键结论 代码示例
账户金额计算 (T = M(1 + J)^n)（初始金额 (M)）；(T = S\left[\frac{(1 + J)^{n + 1}-1}{J}-1\right])（每月存 (S)）；(T = M(1 + J)^n+S\left[\frac{(1 + J)^{n + 1}-1}{J}-1\right])（两者结合） 见前文对应部分
达到目标金额时间 利率翻倍，时间大致减半 solve('(1 + (0.05)/12)^n = 2') 等
每月存款金额 35 年达 1000000 美元，月存约 433.06 美元 solve('1000000 = S*((((1 + (0.08/12))^(35*12 + 1) - 1)/(0.08/12)) - 1)')
工作年限计算 月存 300 美元，达 1000000 美元约需 39.365 年 solve('1000000 = 300*((((1 + (0.08/12))^(n + 1) - 1)/(0.08/12)) - 1)')
一次性与分期取款 一次性取款 65000 美元 20 年后约 176322 美元，分期约 137582 美元，一次性好 见前文对应代码
市场投资与银行存款 50000 美元投资，市场约 72795 美元，银行约 73466 美元，银行好；每年投 10000 美元，结果不同且都小于一次性 50000 美元投资 见前文对应代码

11.2 其他问题总结

问题类型 关键结论 代码示例
棒球击球模拟 多次模拟 20 年职业生涯平均击球率接近 0.339 见前文 atbat.m 、 yearbattingaverage.m 、 career.m 代码
矩阵特征值 矩阵 (A) 最大特征值为 2.3769 n = 500;... max(eig(A))
图形绘制 绘制嵌套黑、白、红圈 t = linspace(0, 2*pi, 100);... axis equal; hold off
最小公倍数 计算多个正整数最小公倍数，输入非正整数报错 mylcm([4 5 6]) 等
线性规划 - 城市拉票 不同条件下确定走访各城市住宅数量 见前文对应代码
线性规划 - 教练时间分配 不同条件下确定与不同球员相处时间 见前文对应代码
电路问题 不同参数下计算电压和电流，参数变化影响电压 见前文对应代码
微分方程 求解微分方程及初值问题，不同初值解曲线有不同趋势，二维方程组有“和平共存”和“末日”模型 见前文对应代码
SIMULINK 模型 用于摆锤和棒球运动问题，展示相图和运动图形 见前文对应描述

11.3 各问题对比分析

  • 计算复杂度 ：金融计算问题大多是基于公式的计算，复杂度相对较低；而微分方程问题和线性规划问题涉及到方程求解和优化，计算复杂度较高。
  • 应用场景 ：金融计算问题主要应用于金融投资领域；棒球击球模拟用于体育数据分析；矩阵特征值问题在工程和科学计算中有广泛应用；图形绘制用于可视化展示；线性规划问题用于资源分配和决策；电路问题用于电子工程；微分方程问题用于描述自然现象和动态系统；SIMULINK 模型用于系统仿真。

12. 问题拓展与思考

12.1 金融计算拓展

  • 可以考虑引入更多的金融因素，如通货膨胀率、税收等，使模型更加贴近实际情况。
  • 研究不同投资组合的风险和收益，优化投资策略。

12.2 棒球击球模拟拓展

  • 考虑球员的疲劳因素、对手的实力等，使模拟更加真实。
  • 分析不同赛季的击球数据，研究球员的成长和变化。

12.3 线性规划拓展

  • 对于城市拉票问题，可以考虑增加更多的约束条件，如不同城市的人口密度、选民分布等。
  • 对于教练时间分配问题，可以考虑球员的伤病情况、训练效果等因素。

12.4 电路问题拓展

  • 研究不同电路元件的组合，分析电路的稳定性和性能。
  • 考虑温度、湿度等环境因素对电路参数的影响。

12.5 微分方程拓展

  • 研究高维微分方程组的解的性质和稳定性。
  • 结合实际问题，建立更加复杂的微分方程模型。

13. 总结

本文通过一系列的数学和编程问题，包括金融计算、棒球击球模拟、矩阵特征值、图形绘制、线性规划、电路问题、微分方程和 SIMULINK 模型等，展示了如何运用数学知识和编程工具解决实际问题。每个问题都有其独特的求解方法和应用场景，通过对这些问题的分析和解决，我们可以更好地理解数学和编程在各个领域的重要性。同时，我们也可以通过对问题的拓展和思考，进一步提高我们解决问题的能力和创新思维。

以下是部分问题的解决流程 mermaid 流程图： 

graph TD;
    A[金融计算问题] --> B[账户金额计算];
    A --> C[达到目标金额时间计算];
    A --> D[每月存款金额计算];
    A --> E[工作年限计算];
    A --> F[一次性与分期取款比较];
    A --> G[市场投资与银行存款比较];
    H[线性规划问题] --> I[城市拉票问题];
    H --> J[教练时间分配问题];
    I --> K[设定约束条件];
    I --> L[求解目标函数];
    J --> M[设定约束条件];
    J --> N[求解目标函数];
    O[微分方程问题] --> P[求解微分方程];
    O --> Q[绘制解曲线];
    O --> R[研究二维方程组];

这个流程图展示了金融计算、线性规划和微分方程问题的主要步骤和分支，有助于我们更清晰地理解这些问题的解决过程。

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