欧拉函数的各种性质

最新推荐文章于 2025-09-13 19:27:03 发布

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#欧拉函数 #数论

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本文详细介绍了欧拉函数φ(n)的概念及其数学性质，包括对于质数n的简化公式，函数的积性特性，以及如何计算任意n的欧拉函数值。此外，还深入探讨了欧拉定理的应用，即当a与m互质时，a的φ(m)次方除以m的余数为1。文章进一步讲解了小于n且与n互质的数的和的计算方法，以及对于质数p，n模p等于0和不等于0时的特殊情况。

欧拉函数

欧拉函数，符号记作φ(n)，其值为小于n且与n互质的数的个数

性质

①

对于质数n

φ(n)=n−1

②

对于 $\varphi \left ( n \right )=p^{k}$

$\varphi \left ( n \right )=(p-1)*p^{k-1}$

③

【积性函数】
对于gcd(n,m)=1

$\varphi \left ( n*m \right )=\varphi \left ( n \right )*\varphi \left ( m \right )$

④

【计算式】

对于 $n=\prod p_{i}^{k_{i}}$

$\varphi \left ( n \right )=n*\prod \left ( 1-\frac{1}{^p^{i}} \right )$

⑤

【欧拉定理】
对于互质的a,m

$a^{\varphi \left ( m \right )}\equiv \left 1$ （mod m）

⑥

小于n且与n互质的数的和：

$S=n*\frac{\varphi \left ( n \right )}{2}$

⑦

对于质数p

若n mod p = 0

$\varphi \left ( n*p \right )=\varphi \left ( n \right )*p$

若n mod p ≠ 0

$\varphi \left ( n*p \right )=\varphi \left ( n \right )*(p-1)$

⑧

$\sum_{}^{d|n}$ $\varphi( d )=n$

$\varphi \left ( d \right )=\sum_{}^{d|n}$ $\mu \left ( d \right )*\frac{n}{d}$

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