欧拉函数 | 定义 / 性质 / 应用

注：本文为 “欧拉函数” 相关合辑。
略作重排，未整理去重。
如有内容异常，请看原文。

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欧拉函数最全总结

jiet07 已于 2024-10-22 10:00:54 修改

一、欧拉函数的引入

首先引入互质关系：

如果两个正整数，除了 $1$ 以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。
比如，$15$ 和 $32$ 没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。

其次引进缩系的概念：

在与模数 $m$ 互素的全部剩余类中，各取一数所组成的集叫做模数 $m$ 的一组缩系。

在讨论缩系的过程中，需要引入一个常用的数论函数–欧拉函数 $\phi (n)$。

请思考以下问题：
任意给定正整数 $n$，请问在小于等于 $n$ 的正整数之中，有多少个与 $n$ 构成互质关系？（比如，在 $1$ 到 $8$ 之中，有多少个数与 $8$ 构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以 $\phi (n)$ 表示。在 $1$ 到 $8$ 之中，与 $8$ 形成互质关系的是 $1$、$3$、$5$、$7$，所以 $\phi (8)=4$。

二、欧拉函数的定义

定义：欧拉函数 $\phi (n)$ 是一个定义在正整数集上的函数，$\phi (n)$ 的值等于序列 $0$，$1$，$2$，…，$n-1$ 中与 $n$ 互素的数的个数。

此函数以其首名研究者欧拉命名 (Euler’s totient function)，它又称为 Euler’s totient function、$\phi$ 函数、欧拉商数等。

特别的，$\phi (1)=1$（和 $1$ 互质的数 (小于等于 $1$) 就是 $1$ 本身）。

函数表：0~100 欧拉函数表 ("x?"代表十位数, "x"代表个位数)

φ(n)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0?	0	1	1	2	2	4	2	6	4	6
1?	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
2?	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
3?	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
4?	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
5?	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
6?	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
7?	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
8?	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
9?	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60

$\phi (100)=40$

三、欧拉函数的性质

1. 当 p 是素数时，$\phi (p)=p-1$。
2. 欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。
   当且仅当 n 可以分解成两个互质的整数之积，即 $n=p_1\times p_2$（其中 $(p_1,p_2)=1$），则 $\phi (n)=\phi (p_1{p}_2)=\phi (p_1)\phi (p_2)$。
   特别的，对于两个素数 p, q，$\phi (pq)=(p-1)(q-1)$（RSA 算法应用核心性质）。
3. 当 $n＞2$ 时，$\phi (n)$ 都是偶数，也即 $\phi (n)\equiv 0(\mathrm{mod}2)$。
   简单证明：若 n 是质数 p 的 k 次幂（即 $n=p^k$），则 $\phi (n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$。
   • 当 p=2 时，$p^{k-1}$ 必为偶数（k≥2 时，$2^{k-1}$ 是偶数）；
   • 当 p＞2 时，(p-1) 必为偶数（奇素数减 1 为偶数）。
     因此无论 p 是 2 还是大于 2 的素数，$\phi (n)$ 均为偶数。

四、欧拉函数的计算方法

（一）素数分解法

1. 对于一个正整数 N 的素数幂分解 $N=P_1^{q_1}{P}_2^{q_2}\dots P_n^{q_n}$（其中 $P_i$ 为素数，$1\le i\le n$），根据欧拉函数的积性性质可得：
   $$\phi (N)=\phi (P_1^{q_1})\phi (P_2^{q_2})\dots \phi (P_n^{q_n})$$
   注意：每种质因数只保留一个（即素数幂分解中每个素数的最高次幂）。

2. 若 n 是质数 p 的 k 次幂（$n=p^k$），则 $\phi (n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$。
   原理：除了 p 的倍数外，其他数都与 n 互质。

   简单证明：
   由 φ(n) 的定义，$\phi (p^k)$ 等于从 $p^k$ 中减去 1 到 $p^k$ 中与 p 不互素的数的个数。
   因为 p 是素数，1 到 $p^k$ 中与 p 不互素的数就是 p 的倍数，共有 $p^{k-1}$ 个（即 $p,2p,\dots ,p^{k-1}p$）。
   因此 $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$，证完。

（二）编程思维

利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。

核心公式：欧拉函数与质因数的关系为
$$\phi (N)=N\times \prod _{p|N}\left(1-\frac{1}{p}\right)$$
其中 $p|N$ 表示 p 是 N 的质因数（即 p 能整除 N）。

示例：

• $\phi (10)=10\times \left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)=4$（10 的质因数为 2,5）；
• $\phi (30)=30\times \left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)=8$（30 的质因数为 2,3,5）；
• $\phi (49)=49\times \left(1-\frac{1}{7}\right)=42$（49 的质因数为 7）。

1. 求 n 以内的所有素数

#l[]
def prime(n):
    #global l=[]  # 全局变量（错误写法，声明与赋值不能同时进行）
    global l
    l = []
    for x in range(n):
        # 判断如果 x 是素数，则加入列表，否则跳过
        if x < 2:
            continue
        for i in range(2, x):
            if x % i == 0:
                break
        else:
            l.append(x)
    print(l)

prime(100)

输出结果：

[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

2. 求 φ(n)

def phi(n):
    ans = n
    for i in l:
        if n % i == 0:
            ans = ans * (1 - 1/i)  # 等价于核心公式，将 n 代入计算
    return int(ans)

phi(100)

# 可通过循环输出 1-9 的欧拉函数值
# for i in range(1, 10):
#     print(phi(i))

输出结果：

40

3. 格式化输出 0-100 欧拉函数表（“x?”代表十位数，“x”代表个位数）

步骤一：输出表头和表格横向数值

print("{:>40}".format("0~100 欧拉函数表（“x?”代表十位数，“x”代表个位数）"))
print()
print("{:>6}".format("φ(n)"), end='')
for x in range(0, 10):
    print("{:>6}".format(x), end='')

输出结果：

          0~100 欧拉函数表（“x?”代表十位数，“x”代表个位数）

  φ(n)     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9

步骤二：输出表格横向和纵向数值

print("{:>40}".format("0~100 欧拉函数表（“x?”代表十位数，“x”代表个位数）"))
print()
print("{:>6}".format("φ(n)"), end='')
for x in range(0, 10):
    print("{:>6}".format(x), end='')

for x in range(0, 10):
    print("\n")
    print("{:>6}".format(str(x) + "?"), end='')

输出结果：

          0~100 欧拉函数表（“x?”代表十位数，“x”代表个位数）

  φ(n)     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9

    0?

    1?

    2?

    3?

    4?

    5?

    6?

    7?

    8?

    9?

步骤三：输出最终效果

import termcolor
# title=termcolor.colored("0~100 欧拉函数表（“x?”代表十位数，“x”代表个位数）",'white','on_red',['bold'])
title = termcolor.colored("0~100 欧拉函数表（“x?”代表十位数，“x”代表个位数）", color=None, on_color=None, attrs=['bold'])  # 加粗
print("{0:^70}".format(title))
print()
print("{:>7}".format("φ(n)"), end='')
for x in range(0, 10):
    print("{:>7}".format(x), end='')

for x in range(0, 10):
    a = x * 10
    print("\n")
    print("{:>8}".format(str(x) + "?"), end='')
    for y in range(0 + a, 10 + a):
        print("{0:>7}".format(phi(y)), end='')

print()
print()
# print("φ(100)=", phi(100))
print("{:>40}{:}".format("φ(100)=", phi(100)))

输出结果：

                0~100 欧拉函数表（“x?”代表十位数，“x”代表个位数）

   φ(n)      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9

      0?      0      1      1      2      2      4      2      6      4      6

      1?      4     10      4     12      6      8      8     16      6     18

      2?      8     12     10     22      8     20     12     18     12     28

      3?      8     30     16     20     16     24     12     36     18     24

      4?     16     40     12     42     20     24     22     46     16     42

      5?     20     32     24     52     18     40     24     36     28     58

      6?     16     60     30     36     32     48     20     66     32     44

      7?     24     70     24     72     36     40     36     60     24     78

      8?     32     54     40     82     24     64     42     56     40     88

      9?     24     72     44     60     46     72     32     96     42     60

                                 φ(100)=40

五、欧拉函数相关定理以及证明

定理 1：缩系与欧拉函数的关系

模数 m 的一组缩系含有 φ(m) 个数。

（根据缩系定义：缩系是从与 m 互素的剩余类中各取一个数组成的集合，而与 m 互素的剩余类个数恰好为 φ(m)，故定理成立。）

定理 2：缩系的充要条件

若 $a_1，a_2，\dots ，a_{\phi (m)}$ 是 φ(m) 个与 m 互素的整数，则 $a_1，a_2，\dots ，a_{\phi (m)}$ 是模数 m 的一组缩系的充要条件是它们两两对模数 m 不同余。

定理 1 和定理 2，根据缩系和欧拉函数的定义显然成立。

定理 3：缩系拓展

若 $(a,m)=1$，x 通过模数 m 的缩系，则 ax 也通过模数 m 的缩系。

证明：

1. 当 x 通过模数 m 的缩系时，ax 共生成 φ(m) 个整数。
2. 由于 $(a,m)=1$ 且 $(x,m)=1$，根据互素性质可知 $(ax,m)=1$（即 ax 与 m 互素）。
3. 假设 $a{x}_1\equiv a{x}_2(\mathrm{mod}m)$，两边同时乘以 a 的逆元（因 (a,m)=1，a 的逆元存在），可得 $x_1\equiv x_2(\mathrm{mod}m)$。但 x 是通过缩系的元素，两两不同余，故假设不成立，即 ax 两两不同余。

综上，$ax$ 通过模数 $m$ 的缩系，证完。

特别说明：
根据定理“整数 a,b 对模数 m 同余的充分必要条件是 m|(a-b)”，可得：
$a{x}_1\equiv a{x}_2(\mathrm{mod}m)$ 的充分必要条件是 $m|a(x_1-x_2)$。
又因 $(a,m)=1$，故 m 必整除 $(x_1-x_2)$，即 $x_1\equiv x_2(\mathrm{mod}m)$，进一步验证结论成立。

1. 简单证明：$(a,m)=1$，$(x,m)=1$，故 $(ax,m)=1$

① 当 m=0 时，a=±1（因 (a,0)=1 等价于 a=±1），结论成立；
② 当 a=0 时，m=±1（因 (0,m)=1 等价于 m=±1），结论成立；
③ 当 am≠0 时，由最大公约数性质：$(a,m)=(a(x,m),m)=((ax,am),m)=(ax,m(a,1))=(ax,m)$。
因 $(a,m)=1$ 且 $(x,m)=1$，故 $(ax,m)=1$，结论成立。

证完。

定理 4：欧拉定理

设 $m>1$，$(a,m)=1$，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。

证明：

1. 设 $r_1,r_2,\dots ,r_{\phi (m)}$ 是模数 $m$ 的一组缩系，由定理 3 可知，$a{r}_1,a{r}_2,\dots ,a{r}_{\phi (m)}$ 也是模数 $m$ 的一组缩系。
2. 两组缩系中元素对模 $m$ 同余（仅顺序不同），故它们的乘积对模 $m$ 同余：
   $$(a{r}_1)(a{r}_2)\dots (a{r}_{\phi (m)})\equiv r_1{r}_2\dots r_{\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$$
3. 左边整理得 $a^{\phi (m)}\times (r_1{r}_2\dots r_{\phi (m)})$，因此：
   $$a^{\phi (m)}\times (r_1{r}_2\dots r_{\phi (m)})\equiv r_1{r}_2\dots r_{\phi (m)}(\mathrm{mod}m)①$$
4. 由于每个 $r_i$ 与 $m$ 互素（缩系定义），故 $r_1{r}_2\dots r_{\phi (m)}$ 与 $m$ 互素（即 $(r_1{r}_2\dots r_{\phi (m)},m)=1$） ②。
5. 根据定理“若 $ac\equiv bc(\mathrm{mod}m)$，且 $(m,c)=d$，则 $a\equiv b(\mathrm{mod}m/d)$”，结合 ② 中 $d=1$，由 ① 可得：
   $$a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$$

证完。

1. 辅助定理：若 $ac\equiv bc(\mathrm{mod}m)$，且 $(m,c)=d$，则 $a\equiv b(\mathrm{mod}m/d)$

简单证明：
由 $ac\equiv bc(\mathrm{mod}m)$ 得 $m|c(a-b)$，即 $\frac{m}{d}|\frac{c}{d}(a-b)$。
因 $(m/d,c/d)=1$（d 是 m 和 c 的最大公约数），故 $\frac{m}{d}|(a-b)$，即 $a\equiv b(\mathrm{mod}m/d)$。

证完。

定理 5：费马小定理

若 p 是素数，则对于每个整数 a，有 $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$。

由定理 4（欧拉定理）立刻推得定理 5，它通常叫做费马小定理。

简单证明：
分两种情况讨论：
① 若 a 不是 p 的倍数：因 p 是素数，故 $(a,p)=1$。由欧拉定理，$\phi (p)=p-1$，故 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。两边乘以 a 得 $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$。
② 若 a 是 p 的倍数：则 $a\equiv 0(\mathrm{mod}p)$，故 $a^p\equiv 0(\mathrm{mod}p)$，即 $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$。

综上，定理成立，证完。

定理 6：缩系组合性质

设 $m_1＞0$，$m_2＞0$，$(m_1,m_2)=1$，$x_1,x_2$ 分别通过模数 $m_1,m_2$ 的缩系，则 $m_2{x}_1+m_1{x}_2$ 通过模数 $m_1{m}_2$ 的缩系。

证明：

第一步：证明 $m_2{x}_1+m_1{x}_2$ 与 $m_1{m}_2$ 互素

假设 $(m_2{x}_1+m_1{x}_2,m_1{m}_2)＞1$，则存在素数 p 整除 $m_2{x}_1+m_1{x}_2$ 和 $m_1{m}_2$。

• 若 p|m_1，则 p|m_2x_1（因 $m_2{x}_1+m_1{x}_2\equiv 0(\mathrm{mod}p)$）。又 p 是素数且 $(m_1,m_2)=1$，故 p∤m_2，因此 p|x_1。但 $x_1$ 是 $m_1$ 缩系元素（$(x_1,m_1)=1$），故 p∤x_1，矛盾。
• 若 p|m_2，同理可推出 p|x_2，与 $(x_2,m_2)=1$ 矛盾。

因此假设不成立，即 $(m_2{x}_1+m_1{x}_2,m_1{m}_2)=1$。

第二步：证明所有 $m_2{x}_1+m_1{x}_2$ 对模 $m_1{m}_2$ 两两不同余

假设 $m_2{x}_1^{\prime }+m_1{x}_2^{\prime }\equiv m_2{x}_1^{\prime \prime }+m_1{x}_2^{\prime \prime }(\mathrm{mod}{m}_1{m}_2)$，则 $m_2(x_1^{\prime }-x_1^{\prime \prime })\equiv m_1(x_2^{\prime \prime }-x_2^{\prime })(\mathrm{mod}{m}_1)$。

左边 $m_2(x_1^{\prime }-x_1^{\prime \prime })\equiv 0(\mathrm{mod}{m}_1)$（因 $(m_1,m_2)=1$），故 $m_1|m_2(x_1^{\prime }-x_1^{\prime \prime })$，即 $m_1|(x_1^{\prime }-x_1^{\prime \prime })$，故 $x_1^{\prime }\equiv x_1^{\prime \prime }(\mathrm{mod}{m}_1)$。

因 $x_1^{\prime }、x_1^{\prime \prime }$ 是 $m_1$ 缩系元素（两两不同余），故 $x_1^{\prime }=x_1^{\prime \prime }$。同理可得 $x_2^{\prime }=x_2^{\prime \prime }$，因此 $m_2{x}_1^{\prime }+m_1{x}_2^{\prime }=m_2{x}_1^{\prime \prime }+m_1{x}_2^{\prime \prime }$。

第三步：证明所有与 $m_1{m}_2$ 互素的数均可表示为 $m_2{x}_1+m_1{x}_2$ 的形式

由完全剩余系定理“设 $m_1＞0$，$m_2＞0$，$(m_1,m_2)=1$，$x_1,x_2$ 分别通过 $m_1,m_2$ 的完全剩余系，则 $m_2{x}_1+m_1{x}_2$ 通过 $m_1{m}_2$ 的完全剩余系”，可知任意与 $m_1{m}_2$ 互素的数 a 可表示为 $a\equiv m_2{x}_1+m_1{x}_2(\mathrm{mod}{m}_1{m}_2)$。

若 $(x_1,m_1)＞1$，则存在素数 q 整除 $x_1$ 和 $m_1$，进而 q 整除 a，与 $(a,m_1{m}_2)=1$ 矛盾，故 $(x_1,m_1)=1$。同理 $(x_2,m_2)=1$。

综上，$m_2{x}_1+m_1{x}_2$ 通过模数 $m_1{m}_2$ 的缩系，证完。

由定理 6，立得推论：
推论：若 $(m_1,m_2)=1$，则 $\phi (m_1{m}_2)=\phi (m_1)\phi (m_2)$。

定理 7：欧拉函数的一般计算方法

对于一个正整数 n 的素数幂分解 $n=P_1^{q_1}{P}_2^{q_2}\dots P_k^{q_k}$（其中 $P_i$ 为素数，$1\le i\le k$），则
$$\phi (n)=n\times \left(1-\frac{1}{P_1}\right)\times \left(1-\frac{1}{P_2}\right)\times \cdots \times \left(1-\frac{1}{P_k}\right)$$

证明过程参考 四、（一）素数分解法 以及 定理 6 的推论（积性函数性质）。

（补充证明：由定理 6 推论，欧拉函数是积性函数，故 $\phi (n)={\prod }_{i=1}^k\phi (P_i^{q_i})$。结合素数幂的欧拉函数公式 $\phi (P_i^{q_i})=P_i^{q_i}-P_i^{q_i-1}=P_i^{q_i}\times \left(1-\frac{1}{P_i}\right)$，代入得 $\phi (n)={\prod }_{i=1}^k{P}_i^{q_i}\times \left(1-\frac{1}{P_i}\right)=n\times {\prod }_{i=1}^k\left(1-\frac{1}{P_i}\right)$，证完。）

六、欧拉函数的应用

（一）应用一：证明相关题目

题目：设 $n\ge 1$，则有 ${\sum }_{d|n,d＞0}\phi (d)=n$（即 n 的所有正约数的欧拉函数值之和等于 n）。

证明：

1. 对 n 进行素数幂分解：$n=P_1^{q_1}{P}_2^{q_2}\dots P_k^{q_k}$（$P_i$ 为素数，$q_i\ge 1$）。
2. n 的所有正约数 d 可表示为 $d=P_1^{x_1}{P}_2^{x_2}\dots P_k^{x_k}$（其中 $0\le x_i\le q_i$，$1\le i\le k$）。
3. 由欧拉函数的积性（定理 6 推论），$\phi (d)=\phi (P_1^{x_1})\phi (P_2^{x_2})\dots \phi (P_k^{x_k})$，因此：
   $$\sum _{d|n}\phi (d)=\sum _{x_1=0}^{q_1}\sum _{x_2=0}^{q_2}\cdots \sum _{x_k=0}^{q_k}\left[\phi (P_1^{x_1})\phi (P_2^{x_2})\dots \phi (P_k^{x_k})\right]$$
4. 上述多重和可拆分为单重和的乘积（乘法分配律）：
   $$\sum _{d|n}\phi (d)=\left[\sum _{x_1=0}^{q_1}\phi (P_1^{x_1})\right]\times \left[\sum _{x_2=0}^{q_2}\phi (P_2^{x_2})\right]\times \cdots \times \left[\sum _{x_k=0}^{q_k}\phi (P_k^{x_k})\right]$$
5. 计算单个素数幂的欧拉函数和：
   • 当 $x_i=0$ 时，$P_i^0=1$，$\phi (1)=1$；
   • 当 $x_i\ge 1$ 时，$\phi (P_i^{x_i})=P_i^{x_i}-P_i^{x_i-1}$（素数幂欧拉函数公式）。
     因此：
     $$\sum _{x_i=0}^{q_i}\phi (P_i^{x_i})=1+(P_i-1)+(P_i^2-P_i)+\cdots +(P_i^{q_i}-P_i^{q_i-1})$$
     展开后中间项抵消，得 ${\sum }_{x_i=0}^{q_i}\phi (P_i^{x_i})=P_i^{q_i}$。
6. 代入步骤 4 的乘积式，得：
   $$\sum _{d|n}\phi (d)=P_1^{q_1}\times P_2^{q_2}\times \cdots \times P_k^{q_k}=n$$

证完。

（二）应用二：求原根个数以及全部原根

1. 原根个数

若模 m 有原根，则原根共有 $\phi (\phi (m))$ 个。

（原理：原根的定义是“使得 $g^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ 且最小正整数 k=φ(m) 的 g”，所有原根可表示为 $g^k$（其中 $(k,\phi (m))=1$），这样的 k 共有 φ(φ(m)) 个，故原根个数为 φ(φ(m))。）

2. 全部原根

特别地，若 m=p 为素数，则模 p 共有 $\phi (p-1)$ 个原根，并且若 g 为模 p 的一个原根，则模 p 的全部原根为 { g k ∣ 1 ≤ k ≤ p − 1 , ( k , p − 1 ) = 1 } \{g^k \mid 1 \leq k \leq p-1, (k, p-1)=1\} {gk∣1≤k≤p−1,(k,p−1)=1}。

（因 p 是素数，φ§=p-1，故原根个数为 φ(φ§)=φ(p-1)，且原根形式由原根定义推导可得。）

（三）应用三：RSA 算法

RSA 算法是一种非对称加密算法，其安全性基于“大整数分解困难”的数学问题，核心依赖欧拉函数的性质（尤其是 $\phi (pq)=(p-1)(q-1)$，其中 p,q 为素数）。

RSA 算法的具体描述如下：

1. 密钥生成：
   • 任意选取两个不同的大素数 p 和 q，计算乘积 $n=pq$，以及欧拉函数 $\phi (n)=(p-1)(q-1)$；
   • 选取一个大整数 e（加密密钥），满足 $\gcd (e,\phi (n))=1$（e 需与 φ(n) 互素，例如选取大于 p 和 q 的素数）；
   • 计算解密密钥 d，满足 $de\equiv 1(\mathrm{mod}\phi (n))$（即 $de=k\phi (n)+1$，k≥1 为整数）。
2. 密钥发布：公开整数 n 和 e（公钥），秘密保存 d（私钥）。
3. 加密过程：将明文 m（m＜n，且 m 为整数）加密为密文 c，加密算法为：
   $$c=E(m)=m^e(\mathrm{mod}n)$$
4. 解密过程：将密文 c 解密为明文 m，解密算法为：
   $$m=D(c)=c^d(\mathrm{mod}n)$$

安全性说明：仅通过公钥 n 和 e 无法直接计算私钥 d，因为计算 d 需要 φ(n)，而 φ(n) 的计算依赖 p 和 q 的分解——对于大整数 n（如 1024 位以上），目前尚无高效算法可分解其素因数，因此 RSA 算法具有较高安全性。

七、测试

（一）termcolor 库的使用

termcolor 是 Python 中用于终端输出彩色文本的库，支持文本颜色、背景色和文本属性（如加粗、闪烁）的设置。

1. 查看库的属性和方法

import termcolor
dir(termcolor)

输出结果：

['ATTRIBUTES',
 'COLORS',
 'HIGHLIGHTS',
 'RESET',
 'VERSION',
 '__ALL__',
 '__builtins__',
 '__cached__',
 '__doc__',
 '__file__',
 '__loader__',
 '__name__',
 '__package__',
 '__spec__',
 'colored',
 'cprint',
 'os',
 'print_function']

2. 查看库的帮助文档

help(termcolor)

输出结果（核心部分）：

Help on module termcolor:

NAME
    termcolor - ANSII Color formatting for output in terminal.

FUNCTIONS
    colored(text, color=None, on_color=None, attrs=None)
        Colorize text.

        Available text colors:
            red, green, yellow, blue, magenta, cyan, white.

        Available text highlights:
            on_red, on_green, on_yellow, on_blue, on_magenta, on_cyan, on_white.

        Available attributes:
            bold, dark, underline, blink, reverse, concealed.

        Example:
            colored('Hello, World!', 'red', 'on_grey', ['blue', 'blink'])
            colored('Hello, World!', 'green')

    cprint(text, color=None, on_color=None, attrs=None, **kwargs)
        Print colorize text.

        It accepts arguments of print function.

DATA
    ATTRIBUTES = {'blink': 5, 'bold': 1, 'concealed': 8, 'dark': 2, 'reverse': 7, 'underline': 4}
    COLORS = {'blue': 34, 'cyan': 36, 'green': 32, 'grey': 30, 'magenta': 35, 'red': 31, 'white': 37, 'yellow': 33}
    HIGHLIGHTS = {'on_blue': 44, 'on_cyan': 46, 'on_green': 42, 'on_grey': 40, 'on_magenta': 45, 'on_red': 41, 'on_white': 47, 'on_yellow': 43}
    RESET = '\x1b[0m'
    VERSION = (1, 1, 0)
    __ALL__ = ['colored', 'cprint']
    print_function = _Feature((2, 6, 0, 'alpha', 2), (3, 0, 0, 'alpha', 0), 65536)

3. 彩色文本输出示例

# 红色文本
print(termcolor.colored("error", "red"))

输出结果（终端中显示红色“error”）：

[31merror[0m

# 错误示例：attrs 中不能包含颜色值（如 'red'），只能包含属性（如 'bold'）
print(termcolor.colored("error", "red", 'on_red', ['red', 'bold']))

输出结果（报错，因 ‘red’ 不是合法的属性）：

---------------------------------------------------------------------------
KeyError                                  Traceback (most recent call last)
<ipython-input-125-7c06270d31d5> in <module>
----> 1 print(termcolor.colored("error","red",'on_red',['red', 'bold']))

c:\users\tianjie\test1\lib\site-packages\termcolor.py in colored(text, color, on_color, attrs)
    110         if attrs is not None:
    111             for attr in attrs:
--> 112                 text = fmt_str % (ATTRIBUTES[attr], text)
    113
    114         text += RESET

KeyError: 'red'

# 正确示例：白色文本、红色背景、反向显示、加粗；绿色文本、红色背景
from termcolor import colored, cprint

text = colored('Hello, World!', 'white', 'on_red', attrs=['reverse', 'bold'])
print(text)
cprint('Hello, World!', 'green', 'on_red')

输出结果（终端中显示对应格式的文本）：

[1m[7m[41m[37mHello, World![0m
[41m[32mHello, World![0m

（二）全局变量和局部变量

在 Python 中，全局变量是定义在函数外部的变量，局部变量是定义在函数内部的变量。若需在函数内部修改全局变量，需用 global 关键字声明（注意：声明和赋值不能同时进行）。

1. 示例 1：修改全局变量

a = 2
# print(a)
def sum(b):
    # print(a)  # 若未声明 global，直接访问全局变量 a 会报错（Python 3 中）
    # global a=3  # 错误：声明和赋值不能同时进行
    global a  # 声明 a 为全局变量
    a = 3  # 修改全局变量 a 的值
    print(a)

print(a)  # 调用函数前，全局变量 a 的值为 2
sum(5)    # 调用函数，修改 a 为 3 并打印
sum(6)    # 再次调用函数，a 仍为 3 并打印

输出结果：

2
3
3

2. 示例 2：跟踪全局变量的变化

a = 2
print(a)  # 初始值：2
def sum(b):
    # print(a)  # 未声明 global 时，函数内无法直接修改全局变量
    global a  # 声明 a 为全局变量
    a = 3  # 修改为 3
    print(a)  # 函数内打印：3

print(a)  # 调用函数前，a 仍为 2
sum(5)    # 调用函数，a 变为 3 并打印
print(a)  # 调用函数后，全局变量 a 已变为 3

sum(6)    # 再次调用函数，a 保持 3 并打印

输出结果：

2
2
3
3
3

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欧拉函数及其性质

shcoc于 2018-08-23 21:50:23 发布

一、定义

在数论中，对正整数 $n$，欧拉函数是小于或等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的数目（特别规定 $\phi (1)=1$）。此函数以首名研究者欧拉命名（Euler’s totient function），又称为 Euler’s totient function、$\phi$ 函数、欧拉商数等。

二、函数式

对于正整数 $x$，若其质因数分解为 $x=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots p_n^{k_n}$（其中 $p_1,p_2,\dots ,p_n$ 为 $x$ 的不同质因数），则欧拉函数的表达式为：
$$\phi (x)=x\times \prod _{i=1}^n\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$$

其中：

• $p_i$ 为 $x$ 的质因数（$x>0$）。
• $\phi (x)$ 表示从 1 到 $x$ 中与 $x$ 互质的数的个数。

三、性质

性质 1：质数的欧拉函数

对于任意一个质数 $p$，有 $\phi (p)=p-1$。

原理：质数 $p$ 的正约数只有 1 和 $p$，因此 1 到 $p$ 中与 $p$ 互质的数为 1 到 $p-1$，共 $p-1$ 个。

性质 2：积性函数特性

当 $\gcd (n,m)=1$（即 $n$ 与 $m$ 互质）时，有 $\phi (nm)=\phi (n)\times \phi (m)$。

原理：欧拉函数是积性函数——积性函数指对于所有互质的整数 $a$ 和 $b$，均满足 $f(ab)=f(a)f(b)$ 的数论函数。

性质 3：素数幂的欧拉函数

若 $n=p^k$（其中 $p$ 为质数，$k$ 为正整数），则 $\phi (n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$。

原理：1 到 $p^k$ 中，与 $p^k$ 不互质的数是 $p$ 的倍数（即 $p,2p,3p,\dots ,p^{k-1}\times p$），共 $p^{k-1}$ 个。因此与 $p^k$ 互质的数的个数为总个数 $p^k$ 减去不互质的个数 $p^{k-1}$，即 $p^k-p^{k-1}$。

性质 4：任意正整数的欧拉函数（质因数分解形式）

若 $n$ 的质因数分解为 $n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots p_m^{k_m}$（其中 $p_1,p_2,\dots ,p_m$ 为不同质数，$k_1,k_2,\dots ,k_m$ 为各质因数的指数），则：
$$\phi (n)=n\times \prod _{i=1}^m\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$$

推导：结合性质 2（积性函数）和性质 3（素数幂的欧拉函数）：

1. 因 $p_1^{k_1},p_2^{k_2},\dots ,p_m^{k_m}$ 两两互质，故 $\phi (n)={\prod }_{i=1}^m\phi (p_i^{k_i})$；
2. 由性质 3，$\phi (p_i^{k_i})=p_i^{k_i}-p_i^{k_i-1}=p_i^{k_i}\times \left(1-\frac{1}{p_i}\right)$；
3. 代入得 $\phi (n)={\prod }_{i=1}^m\left[p_i^{k_i}\times \left(1-\frac{1}{p_i}\right)\right]=\left({\prod }_{i=1}^m{p}_i^{k_i}\right)\times {\prod }_{i=1}^m\left(1-\frac{1}{p_i}\right)=n\times {\prod }_{i=1}^m\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$。

性质 5：与 $n$ 互质数的和

所有小于 $n$ 且与 $n$ 互质的数的和为 $\text{sum}=n\times \frac{\phi (n)}{2}$。

证明：

1. 先证：若 $\gcd (n,i)=1$，则 $\gcd (n,n-i)=1$（反证法）：
   假设 $\gcd (n,i)=1$ 但 $\gcd (n,n-i)=k>1$，则 $k\mid n$ 且 $k\mid (n-i)$。由 $k\mid n$ 和 $k\mid (n-i)$ 可得 $k\mid i$，因此 $\gcd (n,i)\ge k>1$，与假设矛盾。故 $\gcd (n,i)=1⟹\gcd (n,n-i)=1$。

2. 由上述结论，与 $n$ 互质的数必成对出现（$i$ 和 $n-i$），且每对的和为 $i+(n-i)=n$。

3. 与 $n$ 互质的数共有 $\phi (n)$ 个，因此共有 $\frac{\phi (n)}{2}$ 对，总和为 $n\times \frac{\phi (n)}{2}$。

性质 6：欧拉函数与质数的乘积

设 $p$ 为质数，对任意正整数 $i$：

• 若 $i\mathrm{mod}p=0$（即 $p$ 是 $i$ 的质因数），则 $\phi (i\times p)=p\times \phi (i)$；
• 若 $i\mathrm{mod}p\ne 0$（即 $p$ 不是 $i$ 的质因数，$\gcd (i,p)=1$），则 $\phi (i\times p)=(p-1)\times \phi (i)$。

证明：

1. 当 $i\mathrm{mod}p=0$ 时：
   设 $i=p^k\times t$（其中 $\gcd (t,p)=1$），则 $i\times p=p^{k+1}\times t$。由性质 4，$\phi (i)=i\times \left(1-\frac{1}{p}\right)\times {\prod }_{q\mid t}\left(1-\frac{1}{q}\right)$，$\phi (i\times p)=(i\times p)\times \left(1-\frac{1}{p}\right)\times {\prod }_{q\mid t}\left(1-\frac{1}{q}\right)=p\times \left[i\times \left(1-\frac{1}{p}\right)\times {\prod }_{q\mid t}\left(1-\frac{1}{q}\right)\right]=p\times \phi (i)$。

2. 当 $i\mathrm{mod}p\ne 0$ 时：
   因 $\gcd (i,p)=1$，由性质 2（积性函数），$\phi (i\times p)=\phi (i)\times \phi (p)=\phi (i)\times (p-1)$（性质 1 中 $\phi (p)=p-1$）。

性质 7：欧拉函数的和等于原数

对任意正整数 $n$，有 $n={\sum }_{d\mid n}\phi (d)$（其中 $d\mid n$ 表示 $d$ 是 $n$ 的正约数）。

通俗证明：
考虑分数集合 $\left\{\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\dots ,\frac{n}{n}\right\}$，共 $n$ 个分数。将每个分数化简为最简形式 $\frac{a}{d}$（其中 $\gcd (a,d)=1$，$d\mid n$）：

• 对每个约数 $d$，化简后分母为 $d$ 的分数，其分子 $a$ 必满足 $1\le a\le d$ 且 $\gcd (a,d)=1$，这样的 $a$ 共有 $\phi (d)$ 个；
• 所有化简后的分数恰好覆盖原集合的 $n$ 个分数，因此所有 $\phi (d)$ 的和等于 $n$。

性质 8：欧拉定理

对于互质的整数 $a$ 和 $m$（即 $\gcd (a,m)=1$），有 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。

证明：

1. 设集合 Z = { q 1 , q 2 , … , q φ ( m ) } Z = \{ q_1, q_2, \dots, q_{\varphi(m)} \} Z={q1​,q2​,…,qφ(m)​}，其中 $q_1,q_2,\dots ,q_{\phi (m)}$ 是所有小于 $m$ 且与 $m$ 互质的数（即 $Z$ 是 $m$ 的缩系），显然 $|Z|=\phi (m)$。

2. 构造集合 $Y=\{(a\times q_1)\mathrm{mod}m,(a\times q_2)\mathrm{mod}m,\dots ,(a\times q_{\phi (m)})\mathrm{mod}m\}$，需证明 $Y=Z$：

   • 步骤 1：$Y$ 中元素均属于 $Z$：因 $\gcd (a,m)=1$ 且 $\gcd (q_i,m)=1$，故 $\gcd (a\times q_i,m)=1$，因此 $(a\times q_i)\mathrm{mod}m$ 是小于 $m$ 且与 $m$ 互质的数，即属于 $Z$。
   • 步骤 2：$Y$ 中元素两两不同（反证法）：假设 $i\ne j$ 但 $(a\times q_i)\mathrm{mod}m=(a\times q_j)\mathrm{mod}m$，则 $a\times (q_i-q_j)\equiv 0(\mathrm{mod}m)$。因 $\gcd (a,m)=1$，故 $q_i-q_j\equiv 0(\mathrm{mod}m)$，即 $q_i=q_j$，与 $i\ne j$ 矛盾。

3. 因 $Y=Z$，两组集合的元素乘积对模 $m$ 相等：
   $$(a\times q_1)\times (a\times q_2)\times \cdots \times (a\times q_{\phi (m)})\equiv q_1\times q_2\times \cdots \times q_{\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$$
   左边整理为 $a^{\phi (m)}\times (q_1\times q_2\times \cdots \times q_{\phi (m)})$，因此：
   $$a^{\phi (m)}\times (q_1\times q_2\times \cdots \times q_{\phi (m)})\equiv q_1\times q_2\times \cdots \times q_{\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$$

4. 因 $q_1,q_2,\dots ,q_{\phi (m)}$ 均与 $m$ 互质，其乘积也与 $m$ 互质，可两边同时除以该乘积，得：
   $$a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$$

推论（费马小定理）：若 $p$ 为质数，且 $\gcd (a,p)=1$，则 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。
（因质数 $p$ 的欧拉函数 $\phi (p)=p-1$，代入欧拉定理即可得。）

四、欧拉函数求法

1. 线性筛法（O(n)，适合求 1 到 n 所有数的欧拉函数）

利用欧拉函数的性质 2、3、6，结合线性筛（埃氏筛的优化），可在 $O(n)$ 时间内求出 1 到 $n$ 所有数的欧拉函数值。

代码实现：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 1e6 + 10;  // 根据需求调整最大值
int p[maxn];                // 存储质数
bool vis[maxn];             // 标记是否为合数
long long phi[maxn];        // 存储欧拉函数值
int cnt = 0;                // 质数的个数

// 线性筛求 1~len 的欧拉函数
long long get_phi(int len = maxn) {
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    phi[1] = 1;  // 特殊规定：φ(1)=1
    for (int i = 2; i < len; i++) {
        if (!vis[i]) {  // i 是质数
            p[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;  // 性质 1：质数的欧拉函数为 i-1
        }
        // 遍历已找到的质数，更新 i*p[j] 的欧拉函数
        for (int j = 0; j < cnt; j++) {
            if (p[j] * i >= len) break;  // 超出范围，退出
            vis[p[j] * i] = true;        // 标记为合数
            if (i % p[j] == 0) {         // p[j] 是 i 的质因数（性质 6 前半部分）
                phi[i * p[j]] = p[j] * phi[i];
                break;
            } else {                     // p[j] 不是 i 的质因数（性质 6 后半部分）
                phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);
            }
        }
    }
}

int main() {
    get_phi(100);  // 求 1~100 的欧拉函数
    for (int i = 1; i <= 10; i++) {
        cout << "φ(" << i << ") = " << phi[i] << endl;
    }
    return 0;
}

2. 单点求法（O(√n)，适合求单个正整数的欧拉函数）

对单个正整数 $x$，先进行质因数分解，再代入欧拉函数公式 $\phi (x)=x\times {\prod }_{p\mid x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ 计算。

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;

// 求单个正整数 x 的欧拉函数
ll get_phi(ll x) {
    ll res = x;  // 初始值为 x
    // 质因数分解：遍历到 √x
    for (int i = 2; (ll)i * i <= x; i++) {
        if (x % i == 0) {  // i 是 x 的质因数
            res = res - res / i;  // 等价于 res *= (1 - 1/i)
            while (x % i == 0) {  // 去除所有 i 的因子（避免重复计算）
                x /= i;
            }
        }
    }
    if (x != 1) {  // 若 x 剩余部分为质数（大于 √x 的质因数）
        res = res - res / x;
    }
    return res;
}

int main() {
    ll x;
    cin >> x;
    cout << "φ(" << x << ") = " << get_phi(x) << endl;
    return 0;
}

五、欧拉函数的应用

1. 欧拉筛质数

线性筛法在求欧拉函数的同时，也会筛选出所有质数（存储在数组 $p$ 中），因此可直接用于质数筛选。

2. 欧拉降幂

在计算大指数幂 $A^k\mathrm{mod}m$ 时，利用欧拉函数可降低指数的规模，避免直接计算大指数导致的溢出或效率低下。

欧拉降幂公式：

• 若 $\gcd (A,m)=1$，则 $A^k\equiv A^{k\mathrm{mod}\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$；
• 若 $\gcd (A,m)\ne 1$ 且 $k<\phi (m)$，则 $A^k\equiv A^k(\mathrm{mod}m)$（直接计算）；
• 若 $\gcd (A,m)\ne 1$ 且 $k\ge \phi (m)$，则 $A^k\equiv A^{k\mathrm{mod}\phi (m)+\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$。

说明：公式的严格证明需结合数论中的“阶”和“缩系”概念，实际应用中可直接记忆公式使用。

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via：

• 欧拉函数最全总结-优快云博客
  https://blog.youkuaiyun.com/weixin_41603028/article/details/107078050

• 欧拉函数及其性质-优快云博客
  https://blog.youkuaiyun.com/qq_37493070/article/details/81988725

  • 欧拉降幂公式解析-优快云博客
    https://blog.youkuaiyun.com/weixin_38686780/article/details/81272848

• 欧拉函数详解-优快云博客
  https://blog.youkuaiyun.com/w144215160044/article/details/51158735

• 欧拉函数的几个性质及证明 - henry_y - 博客园
  https://www.cnblogs.com/henry-1202/p/10246196.html

• 欧拉函数 φ(n) 的计算及欧拉定理 - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/151756874