神奇的口袋 C++ 三种方法（枚举，递归，动态规划）

2755:神奇的口袋

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描述

有一个神奇的口袋，总的容积是40，用这个口袋可以变出一些物品，这些物品的总体积必须是40。John现在有n个想要得到的物品，每个物品的体积分别是a1，a2……an。John可以从这些物品中选择一些，如果选出的物体的总体积是40，那么利用这个神奇的口袋，John就可以得到这些物品。现在的问题是，John有多少种不同的选择物品的方式。

输入

输入的第一行是正整数n (1 <= n <= 20)，表示不同的物品的数目。接下来的n行，每行有一个1到40之间的正整数，分别给出a1，a2……an的值。

输出

输出不同的选择物品的方式的数目。

样例输入

3
20
20
20

样例输出

3

枚举法

思路简介：

n的范围较小，所以可以考虑用子集枚举

粗略了解子集枚举和位运算可戳如下链接

子集枚举/二进制/位运算 技巧小结 （带例题）C++_Prudento的博客-优快云博客https://blog.youkuaiyun.com/Prudento/article/details/122723928?spm=1001.2014.3001.5502

AC代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX 21
int a[MAX];
int main(){
	int n;
	int cnt = 0;
	cin>>n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cin >> a[i];
	for (int s = 0; s < 1 << n; s++) {
		int sum = 0;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			if ((s>>i)&1) {
				sum += a[i];
			}
		}
		if (sum == 40)cnt++;
    }
	cout << cnt;
	return 0;
}

递归法

思路详见注释

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[30];
int n;
int Ways(int w, int k) {//从前k种物品中选择一些，凑成体积w的做法数目
	//先设置边界条件
	if (w == 0)return 1;//如果体积不够了，那就是什么都不选，也是一种解法
	if (k <= 0)return 0;//如果物品没了，即不需要选了，即0种方法
	return Ways(w, k - 1) + Ways(w - a[k],k-1);
	//对于第k种物品，只有选或者不选两种情况
	//第k种不选方法数为Ways(w, k - 1)，第k种选即Ways(w - a[k],k-1);
}
int main(){
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	cout<<(Ways(40, n));
	return 0;
}

动归法

和上述递归法的思路相似，只不过是转成递推动归型，且减少了重复，提高了效率。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[30];
int n;
int Ways[41][30];//Ways[i][j]表示从j种物品里凑出体积i的方法数
               //题目要求的即Ways[40][n]
int main(){
	cin >> n;
	memset(Ways,0,sizeof(Ways));
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		Ways[0][i] = 1;//需要凑的体积为0的时候只有一种方法，即什么物品都不选
	}
	Ways[0][0] = 1;//边界条件，什么都没有时，也是一种可能
	for (int w = 1; w <= 40; w++) {
		for (int k = 1; k <= n; k++) {
			Ways[w][k] = Ways[w][k - 1];
			if (w - a[k] >= 0)
				Ways[w][k] += Ways[w - a[k]][k - 1];
		}
	}
	cout << Ways[40][n];
	return 0;
}