洛谷数字三角形 C++ 动态规划

最新推荐文章于 2025-06-12 00:15:00 发布

原创最新推荐文章于 2025-06-12 00:15:00 发布 · 494 阅读

3 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#动态规划 #c++ #蓝桥杯 #算法

该博客探讨了一种动态规划策略，用于解决寻找数字金字塔中从顶部到底部路径和最大的问题。给出的示例代码展示了如何通过逐层回溯，计算每个位置到达底部的最大和，最终得出整个路径的最大和。这种方法适用于数据范围在一定限制内的问题，保证了找到全局最优解。

题目描述

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

        7 
      3   8 
    8   1   0 
  2   7   4   4 
4   5   2   6   5

在上面的样例中,从7→3→8→7→5 的路径产生了最大

输入格式

第一个行一个正整数 rr ,表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

输出格式

单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

【数据范围】
对于 100% 的数据，1≤r≤1000，所有输入在 [0,100] 范围内。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

IOI1994 Day1T1

思路简介

由题可知，a[i][j]点可到a[i+1][j]和a[i+1][j+1]点。所以每个点a[i][j]可由a[i-1][j]和a[i-1][j-1]到来。

因为每一行数据都是已知的，本题可以采用"我为人人”的方法，即利用已知推未知的方法来层层向上推出答案。比如，最底层到达底层的最大数字之和是已知的（即每一位的本身），倒数第二层到达底层的最大数字之和可以通过本层和最后一层推出，即可以通过较低层来推出上一层的最优解答，如此层层递推，一直到顶部，保证每一步子问题都是最优的，这样顶部的解也是最优的。不妨设置maxl[i][j]的值来表示点[i][j]到达底部最大数字之和。所以每次利用maxl[i - 1][j - 1] = a[i - 1][j - 1] + max(maxl[i][j], maxl[i][j - 1]) 和maxl[i - 1][j] = a[i - 1][j] + max(maxl[i][j], maxl[i][j + 1]) ，便实现了通过较低层来推出较高层的答案。最后要求的便是maxl[1][1]

AC代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX 1005
int a[MAX][MAX];
int maxl[MAX][MAX];//max1[i][j]的值表示经过此点到底最大的和,题目要求maxl[i][j]
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			cin >> a[i][j];
			maxl[i][j] = a[i][j];
		}
	}
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		for (int j = n; j >= 1; j--) {
			if (i - 1 >= 1 && i - 1 <= n && j - 1 >= 1 && j - 1 <= n)
				maxl[i - 1][j - 1] = a[i - 1][j - 1] + max(maxl[i][j], maxl[i][j - 1]);//和右边的点一起更新其他点 
			if (i - 1 >= 1 && i - 1 <= n && j - 1 >= 1 && j - 1 <= n)//确保数据在界内
				maxl[i - 1][j] = a[i - 1][j] + max(maxl[i][j], maxl[i][j + 1]);//和左边的点一起更新其他点 
		}
	}
	cout << maxl[1][1];
	return 0;
}