洛谷 P2440 木材加工

本文探讨了一种优化木材加工的方法,目标是将n根原木切割成k段等长木头,以实现资源最大化利用并最小化浪费。通过二分查找策略确定最长小段长度,解决实际生产中的切割问题。

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原题链接:P2440 木材加工 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

# 木材加工

## 题目背景

要保护环境

## 题目描述

木材厂有 $n$ 根原木,现在想把这些木头切割成 $k$ 段长度**均**为 $l$ 的小段木头(木头有可能有剩余)。

当然,我们希望得到的小段木头越长越好,请求出 $l$ 的最大值。

木头长度的单位是 $\text{cm}$,原木的长度都是正整数,我们要求切割得到的小段木头的长度也是正整数。

例如有两根原木长度分别为 $11$ 和 $21$,要求切割成等长的 $6$ 段,很明显能切割出来的小段木头长度最长为 $5$。

## 输入格式

第一行是两个正整数 $n,k$,分别表示原木的数量,需要得到的小段的数量。

接下来 $n$ 行,每行一个正整数 $L_i$,表示一根原木的长度。

## 输出格式

仅一行,即 $l$ 的最大值。

如果连 $\text{1cm}$ 长的小段都切不出来,输出 `0`。

## 样例 #1

### 样例输入 #1

```
3 7
232
124
456
```

### 样例输出 #1

```
114
```

## 提示

#### 数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据,有 $1\le n\le 10^5$,$1\le k\le 10^8$,$1\le L_i\le 10^8(i\in[1,n])$。

思路:

比较明显的二分,二分的关键便是确定要查找的对象,找到合适的边界和check函数。

此题中查找的对象便是每一小段的长度,所以不难确定每一小段的长度范围0~所有木头总长/k。

现在写出check函数即可,题目的要求是l尽可能大,且总段数=k。所以check函数用来判断此段长下的段数是否>=k,若>=k,则说明l还可以更长。并且是要求l的最大值,因为区间显然是单增的,显然为true时,是在mid的右半边不断二分。从而找到最右边的最大值。所以更新区间时是l=mid。

AC代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];
typedef long long ll;
int n, k,R,L;
ll t;
bool check(int x) {//check函数用来检查是否能满足>=k的要求
	int cnt = 0;	//显然若>=k,说明l还可以更大。最后查找的边界便是题目的解。
	for (int i = 0; i < n; i++) {

		cnt += a[i] / x;
	}
	if (cnt>=k)return true;
	else return false;
}
void bs(int l, int r) {

	while (l < r) {

		int mid = l + r +1>> 1;//向上取整避免死循环
		if (check(mid))l = mid;
		//既然是求l的最大值,显然是不断的左边界右移动,右边界左移。
		//显然区间单增,得到的便是最右边的最大值。
		else r = mid -1;

	}

	L = l;
}
int main(){
	cin >> n >> k;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> a[i];
		t += a[i];
	}
	R = t / k;//长度l的右边界,向下取整

	bs(0, R);
	cout << L;
	return 0;
}

<think>好的,用户了解上练习二分查找的题目,我需要给出合适的推荐。首先,我得回忆一下的题库结构和常见的二分题目。 用户可能刚开始学二分查找,所以应该从简单题开始。我记得P2249【深基13.例1】查找是个经典的二分题,适合入门。这道题直接考察二分查找的实现,用来找第一个出现的位置,能帮助理解二分的基本应用。 接下来,用户可能需要一些变形的题目,比如在有序数组中找特定值的位置。比如P1102 A-B数对,这题可以用二分或者哈希,但用二分的话可以练习如何统计满足条件的数对数量,属于稍微进阶的应用。 然后,可能需要考虑实际应用的问题,比如P1873砍树,这道题需要二分答案,找到最大的高度,属于典型的二分答案问题。这类题目可以帮助用户理解如何将问题转化为二分可解的形式。 另外,像P1678 烦恼的高考志愿,这题需要找到最接近的分数线,涉及到二分查找后的比较,能练习处理边界条件和最接近值的情况。 还有P2440 木材加工,也是二分答案的题目,需要计算能否切割出指定数量的木材,适合进一步巩固二分答案的方法。 对于更高难度的题目,比如P1024 [NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解,虽然涉及数值方法,但可以用二分来逼近解,适合提升应用能力。 此外,P1182 数列分段 Section II 和P2678 跳石头都是不错的二分答案练习题,涉及到如何将问题转化为判定性问题,并检查条件是否满足。 在推荐时,需要按照难度排序,从基础到应用,再到变形和难题。同时,要提醒用户注意二分的边界条件,比如左闭右开和左闭右闭区间的处理,避免死循环。还要强调二分的前提是有序性,以及如何将问题转化为适合二分的形式,特别是二分答案类的问题。 可能用户对二分查找的理解还停留在数组查找层面,需要引导他们了解更广泛的应用场景,比如最大值最小化或最小值最大化的问题,这时候二分答案就很有用。此外,可以建议用户在做题时注意调试,通过输出中间值来检查二分的执行过程,帮助理解哪里出错了。 最后,总结这些题目,给出一个由易到难的顺序,并附上题号,方便用户查找。同时提醒练习时要理解每个步骤,避免死记硬背模板,这样才能灵活应用。</think>在上练习二分查找算法,建议按照以下顺序逐步提升难度,并注意掌握不同应用场景的变形: ### 一、基础入门 1. **P2249 【深基13.例1】查找** - 难度:普及- - 特点:标准二分查找模板题,要求找到第一个等于目标值的下标。 2. **P1102 A-B 数对** - 难度:普及- - 特点:需统计满足 `A - B = C` 的数对数量,可用二分优化查找过程。 --- ### 二、二分答案应用 3. **P1873 砍树** - 难度:普及/提高- - 特点:典型二分答案题,寻找最大伐木高度,满足总长度要求。 4. **P2440 木材加工** - 难度:普及/提高- - 特点:类似砍树,判断能否切割出指定数量的木材,练习二分边界处理。 --- ### 三、变形与进阶 5. **P1678 烦恼的高考志愿** - 难度:普及- - 特点:查找最接近的分数线,需处理二分后的相邻值比较。 6. **P1024 [NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解** - 难度:普及/提高- - 特点:用二分法求方程的近似解,需注意精度控制。 --- ### 四、综合提升 7. **P1182 数列分段 Section II** - 难度:普及/提高- - 特点:二分答案+贪心,寻找最大子段和的最小值。 8. **P2678 跳石头** - 难度:普及+/提高 - 特点:NOIP真题,二分最短跳跃距离的最大值,需处理复杂条件判断。 --- ### ✨ 练习建议 1. **理解二分本质** - 二分核心是逐步缩小答案范围,需确保问题具有**单调性**(有序或可判定性)。 2. **注意边界条件** - 左闭右开 `[left, right)` 与左闭右闭 `[left, right]` 的处理差异,避免死循环。 3. **调试技巧** - 在循环中输出 `mid` 值,观察收敛过程,验证判断条件是否正确。 4. **拓展思考** - 遇到复杂问题时,先尝试将问题转化为二分可解的判定性问题(如“能否满足某个条件”)。 --- 📌 完成以上题目后,可尝试挑战更高难度的 **P4343 [SHOI2015] 自动刷题机****P3743 kotori的设备**,这些题目对二分与其他算法的结合能力有更高要求。
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