009地球系到地理系

从e系到g系更形象的理解方式。如图所示：

图中，$\lambda$表示经度，$\phi$表示纬度。
当e系绕$z_e$轴正向旋转$\lambda$，那么此时$x_e$轴就在本初子午面上，过本初子午线与赤道线的交点。此时$x_e$轴的指向为的天方向。
观察g系中$x_g$轴的指向，其指向东方向。此时$x_e$与$x_g$还相差$90^{\circ }$，所以还要再旋转$90^{\circ }$。即e系绕$z_e$轴正向旋转$\lambda +90^{\circ }$便能使$x_e$与$x_g$同向。

之后便需要绕$x_e$轴旋转，如果让$z_e$与$z_g$同向，便实现了两个坐标系的旋转变换。
$z_g$与赤道平面的夹角为$\phi$，那么与$z_e$的夹角为$90^{\circ }-\phi$，因此绕$x_e$轴旋转$90^{\circ }-\phi$即可。
这样便实现了从e系到g系的转换。

绕$z_e$轴旋转$\lambda +90$：
$$\left[\begin{array}{ccc}cos(\lambda +90^{\circ })& sin(\lambda +90^{\circ })& 0\\ -sin(\lambda +90^{\circ })& cos(\lambda +90^{\circ })& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-sin\lambda & cos\lambda & 0\\ -cos\lambda & -sin\lambda & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

绕$x_e$轴旋转$90-\phi$：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos(90^{\circ }-\phi )& sin(90^{\circ }-\phi )\\ 0& -sin(90^{\circ }-\phi )& cos(90^{\circ }-\phi )\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& sin\phi & cos\phi \\ 0& -cos\phi & sin\phi \end{array}\right]$$

可得：
$$C_e^g=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& sin\phi & cos\phi \\ 0& -cos\phi & sin\phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-sin\lambda & cos\lambda & 0\\ -cos\lambda & -sin\lambda & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-sin\lambda & cos\lambda & 0\\ -sin\phi cos\lambda & -sin\phi sin\lambda & cos\phi \\ cos\phi cos\lambda & cos\phi sin\lambda & sin\phi \end{array}\right]$$
$$C_g^e=\left[\begin{array}{ccc}-sin\lambda & -sin\phi cos\lambda & cos\phi cos\lambda \\ cos\lambda & -sin\phi sin\lambda & cos\phi sin\lambda \\ 0& cos\phi & sin\phi \end{array}\right]$$