BZOJ 1297 SCOI2009 迷路矩阵乘法-优快云博客

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该博客探讨了如何利用矩阵乘法解决SCOI2009中的一道迷路问题。当邻接矩阵的所有边权为1时，可以通过矩阵自乘T次来获取从1到n的路径数，即答案为a[1][n]。对于边权最大为9的情况，博主提出通过拆分节点并建立新边来等效转换边权，从而应用矩阵乘法求解。

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题目大意：给定一个邻接矩阵，求1~n的边权恰好为T的路径条数

考虑当所有边权都是1的时候那么显然邻接矩阵自乘T次之后a[1][n]就是答案

因为当边权为1的时候a[i][j]可以表示从第i个点转移到第j个点的方案数显然这个符合矩乘的定义

现在边权最大为9 那么将一个点拆成9个第i个点拆成的第j+1个点向第j个点连一条边权为1的边

那么i->j有一条边权为k的边等价于i向j拆成的第k个点连边

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 100
#define MOD 2009
#define P(i,j) (((j)-1)*m+(i))
using namespace std;
struct Matrix{
	int xx[M][M];
	Matrix()
	{
		memset(xx,0,sizeof xx);
	}
	int* operator [] (int x)
	{
		return xx[x];
	}
}a,map;
int n,m,t;
void operator *= (Matrix &x,Matrix &y)
{
	int i,j,k;
	Matrix z;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=n;j++)
			for(k=1;k<=n;k++)
				z[i][j]+=x[i][k]*y[k][j],z[i][j]%=MOD;
	x=z;
}
void Quick_Power(int y)
{
	static Matrix x=map;
	while(y)
	{
		if(y&1)a*=x;
		x*=x;
		y>>=1;
	}
}
int main()
{
	int i,j,x,last;
	cin>>m>>t;n=m*9;
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=2;j<=9;j++)
			map[P(i,j)][P(i,j-1)]=1;
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%1d",&x);
			if(x==0) continue;
			map[i][P(j,x)]=1;
		}
	for(i=1;i<=n;i++)
		a[i][i]=1;
	Quick_Power(t);
	printf("%d\n",a[1][m]);
	return 0;
}