BZOJ 1132 POI2008 Tro 计算几何

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本文介绍了一种方法，通过枚举每个点作为原点建立坐标系，对第一、四象限及x、y轴正半轴上的点进行斜率排序，进而计算所有可能形成的三角形面积之和。使用前缀和优化算法，实现O(n^2logn)的时间复杂度。

题目大意：给定平面上的一些点，求这些点能组成的所有三角形的面积之和

首先我们枚举每一个点以这个点为原点建立平面直角坐标系然后将第一、四象限和x、y轴正半轴上的点按照斜率排序

枚举第二个和第三个点这样做是O(n^3)的肯定超时但是我们发现了什么？

对于每个点k 它对答案的贡献为：

(x1*yk-y1*xk)+(x2*yk-y2*xk)+...+(x_(k-1)*yk-y_(k-1)*xk)

=(x1+x2+...+x_(k-1))*yk-(y1+y2+...+y_(k-1))*xk

于是只要维护一个前缀和即可

时间复杂度O(n^2logn)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 3030
using namespace std;
struct point{
    int x,y;
    double slope;
    point(){}
    point(int _,int __):x(_),y(__)
    {
        slope=x?(double)y/x:1e10;
    }
    bool operator < (const point &Y) const
    {
        if(x!=Y.x)
            return x < Y.x;
        return y < Y.y;
    }
}a[M],points[M];
int n,tot;
long long ans;
bool Compare(const point &p1,const point &p2)
{
    return p1.slope < p2.slope;
}
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
    sort(a+1,a+n+1);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        tot=0;
        long long sum_x=0,sum_y=0;
        for(j=i+1;j<=n;j++)
            points[++tot]=point(a[j].x-a[i].x,a[j].y-a[i].y);
        sort(points+1,points+tot+1,Compare);
        for(j=1;j<=tot;j++)
        {
            ans+=sum_x*points[j].y-sum_y*points[j].x;
            sum_x+=points[j].x;
            sum_y+=points[j].y;
        }
    }
    printf("%lld.%d\n",ans>>1,ans&1?5:0);
}