UOJ #277 BZOJ 4739 定向越野 (计算几何、最短路)

最新推荐文章于 2020-08-14 20:23:57 发布

原创

最新推荐文章于 2020-08-14 20:23:57 发布 · 565 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

题目链接:
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4739
http://uoj.ac/problem/277

不难得出一个结论: 两圆之间最短路一定沿着圆的公切线走。然后得到如下算法：每两个圆之间作公切线(4条)，如果一条公切线不穿过其他圆，就把这两个点(图论中的点)之间连上边，边权为切线长；同一圆上相邻两点连边，边权为圆上距离，然后S,T分别向每个圆作切线如果不和其他圆相交就连边。这样的话点数、边数是 $O(n^2)$ 级别的，使用Dijkstra算法求最短路即可。时间复杂度瓶颈在于对于一条边枚举每一个圆去check是否相交，总时间复杂度 $O(n^3)$ . 奇迹般地能跑过。
下面重点讲解一下我是如何求两圆公切线以及点和圆的切线的:
先来说两圆公切线：因为两圆外离所以一定有 $4$ 条公切线， $2$ 内 $2$ 外。
考虑先把圆按半径从大到小排序，现在要从半径大的圆向半径小的圆作 $4$ 条切线。
设两圆圆心(已知)分别为 $O_1, O_2$ , 圆心的直线距离 $O_1O_2=d$ , 半径分别为 $r_1r_2$ , 一条外公切线为 $A B$ (未知)。
过 $O_2$ 作 $O_2E\perp AO_1$ 于 $D$ , 则 $AEO_2B$ 为矩形。 $AE=BO_2=r_2$ , $EO_1=AO_1-AE=r_1-r_2$ , 又 $O_1E\perp O_2E$ , 可用勾股定理算出切线长 $AB=EO_2=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}$ . 同时有 $\cos \angle EO_1O_2=\frac{r_1-r_2}{d}$ , 可利用acos函数算出 $\angle EO_1O_2$ 的值。然后求出向量 $\vec {OA}=\frac{r_1}{d}\vec v$