4403: 序列统计组合数学+Lucas定理

最新推荐文章于 2018-09-09 13:05:55 发布

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本文详细解析了一类组合计数问题，通过巧妙的数学转换，将原始问题转化为求解特定区间内单调递增序列数量的问题，并给出了具体的计算公式及Lucas定理的应用方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

组合的知识大大欠缺啊。。好好学习一下。
先膜出题人 $yts1999$ 大爷。
首先转化一下问题：
求长度在 $1$ 到 $N$ 之间，元素大小都在 $L$ 到 $R$ 之间的单调不降序列的数量。我们进行加标号的操作，将每一位的值都 $+i$ ，即转化为：求长度在 $1$ 到 $N$ 之间，元素大小都在 $L+1$ 到 $R+N$ 之间的单调递增序列的数量（不懂画个图）。
那么这个问题就相当于在区间 $[L+1,R+N]$ 这 $R-L+N$ 个数中选择 $N$ 个的方案数，即 $C_{R-L+N}^N$ 即 $C_{R-L+N}^{R-L}$ 。
为了表述方便，我们令 $M=R-L+1$ ，上式转化为 $C_{M+N-1}^{M-1}$ 。
所以答案为

\sum i = 1 N C M - 1 i + M - 1

$\sum_{i=1}^N C_{i+M-1}^{M-1}$
因为

C M N = C M N - 1 + C M - 1 N - 1

$C_N^M=C_{N-1}^M+C_{N-1}^{M-1}$
所以我们有以下等价转化：

∑Ni=1CM−1i+M−1 $\sum_{i=1}^N C_{i+M-1}^{M-1}$

=(∑Ni=1CM−1i+M−1)+CMM−1 $=(\sum_{i=1}^N C_{i+M-1}^{M-1})+C_M^M-1$

=(∑Ni=2CM−1i+M−1)+CMM+1−1 $=(\sum_{i=2}^N C_{i+M-1}^{M-1})+C_{M+1}^M-1$

=(∑Ni=3CM−1i+M−1)+CMM+2−1 $=(\sum_{i=3}^N C_{i+M-1}^{M-1})+C_{M+2}^M-1$

... $...$

=CMN+M−1 $=C_{N+M}^M-1$
然后用

Lucas $Lucas$ 定理解决。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long 
#define M 1000003
using namespace std;
ll fac[M],inv[M];
inline int read()
{
    int a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}
inline void pre()
{
    fac[0]=inv[1]=inv[0]=1;
    for (int i=1;i<M;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%M;
    for (int i=2;i<M;i++)
        inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M;
    for (int i=1;i<M;i++)
        inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%M;
}
ll C(int n,int m)
{
    if (n<m) return 0;
    if (n<M&&m<M)
        return fac[n]*inv[m]%M*inv[n-m]%M;
    return C(n/M,m/M)*C(n%M,m%M)%M;
}
int main()
{
    int T=read();
    pre();
    while (T--)
    {
        int n=read(),l=read(),r=read(),m=r-l+1;
        printf("%d\n",(C(n+m,m)+M-1)%M);
    }
    return 0;
}