[总结]数学专题（持续更新）

质因数分解&约数

我们知道可以对一个数进行质因数分解，即

$$x=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_n^{a_n}$$
对一个数进行质因数分解后：
约数个数和：
$$\prod_{i=1}^n(a_i+1)$$
约数和：
$$\prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j$$

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最大公约数与最小公倍数

求最大公约数的方法是经典的欧几里得算法：
Code：

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

最大公约数和最小公倍数的关系：

$$lcm(i,j)=\frac{i*j}{gcd(i,j)}$$

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扩展欧几里德算法

Code：

void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b==0) {x=1; y=0; return;}
    ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int t=x; x=y; y=t-a/b*y;
}

利用扩展欧几里德算法可以解不定方程$a*x+b*y=n$。

1. 首先令$d=gcd(a,b)$，若$d\mid n$则有解，否则无解。
2. 将$a,b,n$都除以$d$，得到新方程$a_0*x+b_0*y=n_0$,此时$gcd(a_0,b_0)=1$。
3. 利用扩展欧几里德算法求出方程$a_0*x+b_0*y=1$的一组解$x_0,y_0$,则$x_0*n_0,y_0*n_0$是原方程的一组解。
4. 根据相关定理，方程$a_0*x+b_0*y=n_0$的所有解为
   $$x=x_0*n_0+t*b_0,y=y_0*n_0-t*a_0,t\in Z$$

模线性方程$a*x\equiv b \ (mod \ p)$可以转化为$a*x+p*y=b$的形式，也可以用上述方法解决。

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快速幂

二分的思想.
Code：

inline int quick_power(int a,int b)
{
    int ans=1;
    for (int i=b;i;i>>=1,a=a*a%P)
        if (i&1) ans=ans*a%P;
    return ans;
}

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快速乘

二进制的思想，防止直接乘法爆掉.
Code：

int mul(int a,int b)
{
    int ans=0;
    for (int i=b;i;i>>=1,a=(a<<1)%p)
        if (i&1) ans=(ans+a)%p;
    return ans;
}

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线性筛素数

素数即只有1和自己两个约数的数。
线性筛素数Code：

inline void get_prime()
{
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!flag[i]) prime[++prime[0]]=i,pos[i]=prime[0];
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            flag[i*prime[j]]=1; pos[i*prime[j]]=j;
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

这个过程的复杂度是$O(n)$的,重点在于

$$if\ \ (i\%prime[j]==0)\ \ break;$$
上文中我们知道了可以对一个数进行质因数分解，
也就是说每个数都存在一个最小质因子$p$，保证复杂度为线性的原因就是每个数只会被它的最小质因子$p$筛去一次，让我们举一个例子：
比如当前$i=4$,$i\%prime[1]=0(prime[1]=2,prime[2]=3)$,那么此时将$i*prime[2]$即$8$标记为合数，而$i*prime[3]$即$12$不会在本次循环中被标记，因为$12$的最小质因子为$2$，当$i=6$时，$12$才会被筛去。
知道了线性的原因，我们也可以很方便的找出每个数的最小质因子。

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欧拉函数

线性筛欧拉函数Code：

inline void get_phi()
{
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!flag[i]) {prime[++prime[0]]=i; phi[i]=i-1;}
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            flag[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break;}
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

欧拉函数是小于$n$的数中与n**互质**的数的数目，我们用$\varphi(n)$来表示。
依旧是先进行质因数分解。
通式：

$$\varphi(n)=n*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*……*(1-\frac{1}{p_n})$$
这个可以用定义+容斥原理来证明，此处省略。
特殊：$\varphi(1)=1$。
一些性质：

1. 若$n$是质数$p$的$k$次幂,则$\varphi(n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)*p^{k-1}$，因为除了$p$的倍数外，其他数都跟$n$互质。
2. 积性函数：若$m,n$互质，则$\varphi(mn)=\varphi(m)*\varphi(n)$
3. 当$n$为奇数时，$\varphi(2n)=\varphi(n)$。
4. 当$n$为质数时，$\varphi(n)=n-1$。
5. 当$n$为质数时，且$i\%n=0$，则$\varphi(i*n)=\varphi(i)*n$。
6. 在区间$[0,n)$中与$n$互质的数和为$\frac{\varphi(n)*n}{2}$。
7. $\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n$。

线性筛欧拉函数就是根据性质$2,4,5$来进行的。

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乘法逆元

定义：满足$a*k\equiv 1 \ (mod \ p)$的$k$值就是$a$关于$p$的乘法逆元，我们不妨用$inv_i$来表示$i$的乘法逆元。
$\frac{a}{b} \ mod \ p$就等价于$a*inv_b \ mod \ p$。可以解决除法取模的问题。
乘法逆元的求法：

1. 根据定义，我们可以列出不定方程$a*x+p*y=1$，然后用扩展欧几里德算法解决。
2. 根据费马小定理，$a^{p-1}\equiv 1 \ (mod \ p)$，那么因为$a*a^{p-2}=a^{p-1}\equiv1 \ (mod \ p)$，所以在$p$是质数时，$a$关于$p$的逆元为$a^{p-2}$。
3. 递推求逆元，复杂度为$O(n)$，附代码，证明略

    inv[1]=1;
    for (int i=2;i<MAXN;i++) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

以上为乘法逆元常用的$3$种求法。

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高斯消元

高斯消元就是不断地消元然后回代，可用来解线性方程组，复杂度为$O(n^3)$
Code：

void gauss()
{
    int y;
    double t;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (y=i;y<=n;y++) 
            if (fabs(a[y][i])>eps) break;
        if (y>n) continue;
        if (y!=i) 
            for (int j=1;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[y][j]);
        t=a[i][i];
        for (int j=1;j<=n+1;j++) a[i][j]/=t;
        for (int j=1;j<=n;j++)
            if (j!=i)
            {
                t=a[j][i];
                for (int k=1;k<=n+1;k++)
                    a[j][k]-=t*a[i][k];
            }
    }
}

高斯消元还可以用来解异或方程组，然后引入一个概念叫做自由元：在消元后若$f_{i,i}=0$，证明$i$是一个自由元，即$i$的取值不同会造成多解问题，在异或方程组中，由于取值只有$2$种，所以如果有$k$个自由元，解的个数为$2^k$。常用枚举自由元的方式来计算不同的解。
Code：

inline void gauss()
{
    int y;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (y=i;y<=n;y++)
            if (a[y][i]) break;
        if (y>n) continue;
        if (i!=y) 
            for (int j=1;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[y][j]);
        for (int j=1;j<=n;j++)
            if (j!=i&&a[j][i])
                for (int k=1;k<=n+1;k++) a[j][k]^=a[i][k];
    }
}
void dfs(int x)
{
    if (tot>=mn) return;
    if (!x) 
    {
        mn=min(mn,tot);
        return;
    }
    if (a[x][x])
    {
        int t=a[x][n+1];
        for (int i=x+1;i<=n;i++)
            if (a[x][i]) t^=ans[i];
        ans[x]=t;
        if (t) tot++;
        dfs(x-1);
        if (t) tot--;
    }
    else
    {
        ans[x]=0; dfs(x-1);
        ans[x]=1; tot++; dfs(x-1); tot--;
    }
}

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Lucas定理

$Lucas$定理是用来解决大组合数取模的。
即求$C_n^m \ mod \ p$，其中$p$为质数。
$C_n^m \ \% \ p=C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p} \ \% \ p$

莫比乌斯反演

线性筛莫比乌斯函数Code:

inline void prepare()
{
    mobius[1]=1;
    for (int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if (!flag[i]) prime[++prime[0]]=i,mobius[i]=-1;
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<MAXN;j++)
        {
            flag[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mobius[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mobius[i*prime[j]]=-mobius[i];
        }
    }
}

参考资料：WC2016第二课堂宋新波讲稿

我们定义两个函数$f(n)$和$g(n)$，并且满足$f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)$，根据定义：
$f(1)=g(1)$
$f(2)=g(1)+g(2)$
$f(3)=g(1)+g(3)$
$f(4)=g(1)+g(2)+g(4)$
$f(5)=g(1)+g(5)$
$f(6)=g(1)+g(2)+g(3)+g(6)$
$f(7)=g(7)$
$f(8)=g(1)+g(2)+g(4)+g(8)$
于是我们可以得到：
$g(1)=f(1)$
$g(2)=f(2)-f(1)$
$g(3)=f(3)-f(1)$
$g(4)=f(4)-f(2)$
$g(5)=f(5)-f(1)$
$g(6)=f(6)-f(3)-f(2)+f(1)$
$g(7)=f(7)-f(1)$
$g(8)=f(8)-f(4)$

我们发现了什么？
$g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\times ?$
而$?$部分与$d$似乎没有什么关系，而与$\frac{n}{d}$有关系。
我们定义一个新的函数，记为$\mu(i)$
则$g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\times \mu(\frac{n}{d})$
或者通过换元可以写成$g(n)=\sum_{d\mid n}f(\frac{n}{d})\times\mu(d)$
我们得到了公式：
$f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)=>g(n)=\sum_{d\mid n}f(\frac{n}{d})\times\mu(d)$

莫比乌斯函数的定义
$\mu(d)$为莫比乌斯函数，定义如下：
①若$d=1$,则$\mu(d)=1$
②若$d=P_1\times P_2\times...\times P_n$，则$\mu(d)=(-1)^k$
③其他情况$\mu(d)=0$

莫比乌斯函数的性质
①若$n=1$,则$\sum_{d\mid n} \mu(d)=1$，否则$\sum_{d\mid n} \mu(d)=0$.
可以用二项式定理来证明。
②莫比乌斯函数是积性函数

莫比乌斯反演的证明
证明：$f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)=>g(n)=\sum_{d\mid n}f(\frac{n}{d})\times\mu(d)$

$g(n)=\sum_{d\mid n}f(\frac{n}{d})*\mu(d)$
$=\sum_{d\mid n}\mu(d)\sum_{i\mid\frac{n}{d}}g(i)$
$=\sum_{i\mid n}g(i)\sum_{d\mid \frac{n}{i}}\mu(d)$
①当$i=n$时，$\sum_{d\mid \frac{n}{i}}\mu(d)=1$,$g(i)\sum_{d\mid \frac{n}{i}}\mu(d)=g(n)$
②当$i$取其他值时，$\sum_{d\mid \frac{n}{i}}\mu(d)=0$，$g(i)\sum_{d\mid \frac{n}{i}}\mu(d)=0$
综上，$g(n)=\sum_{d\mid n}f(\frac{n}{d})\mu(d)=g(n)$

莫比乌斯反演的变形
$f(i)=\sum_{i\mid d,d\leq n}g(d)=>g(i)=\sum_{i\mid d,d\leq n}f(d)\mu(\frac{d}{i})$
其他写法：$f(i)=\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}g(d*i)=>g(i)=\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}f(d*i)\mu(d)$
证明与莫比乌斯反演的证明类似，在此不赘述。

莫比乌斯反演的性质
$f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)$，则“$g(n)$是积性函数”的充分必要条件是“$f(n)$是积性函数”。

常用技巧
变量替换，内层外移。
$gcd(i,j)=1$等价于$\sum_{d\mid gcd(i,j)} \mu(d)$。