[总结]有上下界的网络流

最近学习了有上下界网络流，在总结之前先说一些约定：
用$S,T$表示原图中的源点和汇点（如果有），用$SS,TT$表示虚拟的超级源点和超级汇点，用$l_{(i,j)},r_{(i,j)}$分别表示边$(i,j)$的流量下界和流量上界，用四元组$(u,v,w,z)$表示一条边$u→v$，流量为$w$,费用为$z$（如果有的话）。

主要有以下四类：

无源汇上下界可行流

例题：SGU194 Reactor Cooling

概念：无源汇上下界可行流就是在一个流量网络中，没有源点和汇点，每条边有流量上下界，要求一种合法的方案，并保证流量守恒。

建模方法：
定义$d_u=\sum l_{(i,u)}-\sum l_{(u,j)}$，对于$d_u>0$的点，连边$(SS,u,d_u)$，对于$d_u<0$的点，连边$(u,TT,-d_u)$，然后求$SS$到$TT$的最大流，当最大流等于$\sum_{d_i>0}d_i$时有合法解，每条边的流量为残余网络中反向边的流量+下界流量。

有源汇上下界可行流

例题：POJ2396：Budget

概念：有源汇上下界可行流就是在一个流量网络中，有源点和汇点，每条边有流量上下界，要求一种合法的方案，并保证流量守恒。

建模方法：连边$(T,S,+∞)$，转化为无源汇上下界可行流。

有源汇上下界最大流

例题：ZOJ3229：Shoot the Bullet

概念：有源汇上下界可行流就是在一个流量网络中，有源点和汇点，每条边有流量上下界，要求一种合法的方案，保证流量守恒，并使得流量最大。

建模方法：先转化为有源汇上下界可行流，跑一遍$SS$到$TT$的最大流，再跑一遍$S$到$T$的最大流，第二遍的最大流即为答案。

有源汇上下界最小流

例题：sgu176. Flow construction

概念：有源汇上下界可行流就是在一个流量网络中，有源点和汇点，每条边有流量上下界，要求一种合法的方案，保证流量守恒，并使得流量最小。

建模方法：先不连边$(T,S,+∞)$，跑一遍$SS$到$TT$的最大流，然后连边$(T,S,+∞)$，跑一遍$T$到$S$的最大流，然后最小流为边$(S,T)$的流量。