【C++】洛谷B3637 最长上升子序列

本文讲解了如何解决最长上升子序列问题,通过动态规划方法求解,并提供了C++代码示例。关键在于理解如何利用dp数组来记录每个位置的最长上升子序列。

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最长上升子序列

题目描述

这是一个简单的动规板子题。

给出一个由 n(n≤5000)n(n\le 5000)n(n5000) 个不超过 10610^6106 的正整数组成的序列。请输出这个序列的最长上升子序列的长度。

最长上升子序列是指,从原序列中按顺序取出一些数字排在一起,这些数字是逐渐增大的。

输入格式

第一行,一个整数 nnn,表示序列长度。

第二行有 nnn 个整数,表示这个序列。

输出格式

一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

6
1 2 4 1 3 4

样例输出 #1

4

提示

分别取出 111222333444 即可。

思路: 用dp[i]表示序列中第i个元素处的最长上升子序列,那么如果想知道dp[i]的值,则需要找到第i个元素之前的最长上升子序列且此子序列的最大元素不能比当前元素大。如果第i个元素前所有的子序列中元素都比它自身大,则说明此时的元素不能与之前的元素构成上升子序列,那么此时dp[i]的值就为1

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[5000], ans[5000], n;
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cin >> a[i];
    }
    ans[0] = 1;
    for(int i = 1; i < n; i++){
        int maxx = 0;
        for(int j = 0; j < i; j++){
            if(a[j] < a[i]) maxx = max(maxx, ans[j]);
        }
        ans[i] = maxx + 1;
    }
    sort(ans, ans + n);
    cout << ans[n - 1];
    return 0;
}
洛谷P2678是一道关于C++编程的题目,主要考察的是动态规划(Dynamic Programming, DP)中的最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence, LIS)问题。以下是这道题目的详细介绍和解题思路: ### 题目描述 给定一个长度为n的整数序列,求出其中最长的上升子序列的长度。最长上升子序列是指序列中的一个子序列,该子序列中的每一个元素都比前一个元素大。 ### 输入格式 第一行包含一个整数n,表示序列的长度。 第二行包含n个整数,表示序列中的元素。 ### 输出格式 输出一个整数,表示最长上升子序列的长度。 ### 样例输入 ``` 5 1 2 3 2 5 ``` ### 样例输出 ``` 4 ``` ### 解题思路 1. **动态规划**:我们可以用一个数组`dp`来记录以每个元素结尾的最长上升子序列的长度。初始时,`dp[i] = 1`,因为每个元素本身就是一个长度为1的上升子序列。 2. **状态转移方程**:对于每个元素`arr[i]`,我们遍历其前面的所有元素`arr[j]`,如果`arr[j] < arr[i]`,则更新`dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)`。 3. **最终答案**:遍历`dp`数组,找到其中的最大值,即为最长上升子序列的长度。 ### 代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; vector<int> arr(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> arr[i]; } vector<int> dp(n, 1); for (int i = 1; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < i; ++j) { if (arr[j] < arr[i]) { dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); } } } int ans = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { ans = max(ans, dp[i]); } cout << ans << endl; return 0; } ``` ### 解释 1. **输入处理**:首先读取序列的长度n和序列中的元素。 2. **动态规划数组初始化**:初始化`dp`数组,所有元素初始值为1。 3. **状态转移**:对于每个元素,更新`dp[i]`为`max(dp[i], dp[j] + 1)`,其中`arr[j] < arr[i]`。 4. **结果输出**:遍历`dp`数组,找到最大值作为最终答案。
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