【最长上升子序列】洛谷P3902_递增

最长上升子序列:洛谷P3902解析
本文介绍了如何解决洛谷P3902问题,即求解最长上升子序列。攻略包括两种策略:当新数大于序列末尾数时直接追加;否则,在序列中找到合适位置插入新数。最后,答案为序列的最长长度,而非原序列长度与最长序列长度之差。

逐·渐·中·二

拒绝大魔王,来一道简单点的题怪水一水。


怪物种类:最长上升子序列
等级:橙题(shui(bu
打怪攻略:
1.用一个序列s存最长上升子序列,然后对于一个新的数a,如果它大于序列末尾的数,那么序列s末尾就接上a。
2.不然就在序列s中找一个sl<a<=sr的位置,将a存到r位置上。
答案就是序列最长的长度。
此怪非模板,需要输出用n减去序列最长长度。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,a,t,ans[100003],maxx;
 int main(){
 	scanf("%d",&n);
 	for(int i=1;i<=n;++i){
 		scanf("%d",&a);  //读入
 		if(a>ans[t]){  //如上1
 			++t;
 			ans[t]=a;
 			maxx=max(maxx,t);
 		}
 		else{  //如上2,二分查找那个位置。
 			int l=1,r=t;
 			while(l<r){
 				int mid=(l+r)>>1;
 				if(ans[mid]<a) l=mid+1;
 				else r=mid;
 			}
 			ans[l]=a;  //存
 		}
 	}
 	printf("%d",n-maxx);   //输出
 }
### 长公共子序列(LCS)线性DP解法 在处理长公共子序列(LCS)问时,通常的动态规划解法时间复杂度为 $ O(n^2) $,这在数据规模较大时无法有效处理。对于洛谷 P2516 目,需要一种更高效的解法。 #### 问分析 目要求找到两个序列的长公共子序列。假设两个序列分别为 $ A $ 和 $ B $,长度分别为 $ n $ 和 $ m $。常规的 $ O(nm) $ 解法在 $ n $ 和 $ m $ 较大时(如 $ 10^5 $)无法通过。因此,我们需要一种更高效的解法。 #### 线性DP解法思路 在某些特定条件下,可以利用优化手段将 LCS 问转换为其他问。例如,当两个序列都是 1 到 $ n $ 的排列时,可以利用最长上升子序列(LIS)的解法来优化。 具体步骤如下: 1. **映射元素位置**:将序列 $ A $ 中每个元素的位置映射到一个数组中,表示该元素在 $ B $ 中的位置。 2. **转换为 LIS 问**:将问转换为在映射后的数组中寻找最长上升子序列的问。这是因为公共子序列在 $ A $ 和 $ B $ 中的顺序必须一致,而最长上升子序列正好满足这一条件。 3. **使用贪心 + 二分法优化 LIS**:利用贪心策略和二分查找优化 LIS 的求解过程,时间复杂度为 $ O(n \log n) $。 #### 代码实现 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 100005; int pos[MAXN]; // 映射数组 int dp[MAXN]; // 用于 LIS 的 dp 数组 int main() { int n; cin >> n; vector<int> A(n), B(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> A[i]; } for (int i = 0; i < n; ++i) { int x; cin >> x; pos[x] = i; // 记录 B 中每个元素的位置 } int len = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { int x = pos[A[i]]; int* p = lower_bound(dp, dp + len, x); if (p == dp + len) { dp[len++] = x; } else { *p = x; } } cout << len << endl; return 0; } ``` #### 说明 - **映射元素位置**:通过 `pos` 数组将 $ A $ 中的元素转换为其在 $ B $ 中的位置,这样可以将问转换为在 $ A $ 中寻找最长上升子序列。 - **LIS 解法**:利用贪心策略和二分查找,维护一个递增的 `dp` 数组,每次更新 `dp` 数组的值,终 `dp` 数组的长度即为长公共子序列的长度。 这种方法在时间复杂度上显著优于传统的 $ O(n^2) $ 解法,适用于大规模数据。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值