倍增与RMQ（详细版）

1、倍增思想
(1)什么是倍增
倍增法(英语：binary lifting),顾名思义就是翻倍。它能够使线性的处理转化为对数级的处理，大大地优化时间复杂度。
这个方法在很多算法中均有应用，其中最常用的是：RMO问题和求LCA(最近公共祖 先)。
倍增思想是一种十分巧妙的思想。“倍增”二字体现在它每次将当前的已知结果或考察 范围扩大一倍。正是由于这个原因，它的时间复杂度降低了很多，一般是将一个系数N变为 log₂N 。
(2)倍增思想举例
例子1:
如何用尽可能少的砝码称量出[0,31]之间的所有重量?(只能在天平的一端放砝码)
答案是使用1 2 4 8 16这五个砝码，可以称量出 之间的所有重量。同样，如果要 称量 之间的所有重量，可以使用1 2 4 8 16 32 64 这七个砝码。每次我们都选择2 的整次幂作砝码的重量，就可以使用极少的砝码个数量出任意我们所需要的重量。
可以发现，我们的目标量翻倍的情况下，我们需要的砝码数量只需要+1。
例子2:
有非负整数数列：a1 a2 a3 a4 a5 …an,有 M 次询问，每次需要求：不超过给定的 整数Ti 的最大的前缀和。
求解思路：预处理前缀和，倍增思想跳跃取值。
2、RMQ 问题
RMQ(Range Maximum Query),用于求静态区间最大值(也可以求最小值)。
ST 表 (Sparse Table, 稀疏表)实现 RMQ 可以做到：**O(nlogn)**的预处理， 0(1)的 时间复杂度查询。一般用于多次询问RMQ 的问题。特别要注意：ST 的算法条件是数组本身 不能有修改。
ST 表是用于解决可重复贡献问题的数据结构。
(1)RMQ 的求解思想
以每个点为左端点，求出长度为2^len
的区间最大值。左端点的选择有n 种，长度的选择 有：1 2 4 …2^log₂n, 也就是nlog₂n 种需要讨论的状态。
这里采用DP+倍增的思想求出从每个点开始的区间长度为2^len的区间最值。
第一步：求ST 表
f(i,j): 表 示 从 i 开始，长度是 2^j 的区间中的最大值。

第二步：区间询问
询问[1,r]之间的区间最值

注意：为提升求 log 的效率，可以预处理 log2(n) 的 值 。

lg[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
	lg[i]=lg[i/2]+1;
}

例题：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+10,L=17;

int n,m;
int f[N][L];
int lg[N]; 
int a[N];

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	
	for(int j=0;j<L;j++){
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
			if(j==0){
				f[i][j]=a[i];
				continue;
			}
			f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
		}
	}
	
	lg[1]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		lg[i]=lg[i/2]+1;
	}
	
	int l,r,k;
	while(m--){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		k=lg[r-l+1];
		printf("%d\n",max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]));
	}

    return 0;
}