（1）证明
49
,
4489
,
444889
,
44448889
…
49,4489,444889,44448889…
49,4489,444889,44448889…均为完全平方数
解：
令
f
(
n
)
=
4
∑
i
=
n
2
n
−
1
1
0
i
+
8
∑
i
=
1
n
−
1
1
0
i
+
9
(
n
≥
1
)
f(n)=4\sum_{i=n}^{2n-1}{10^i}+8\sum_{i=1}^{n-1}{10^i}+9 (n\ge1)
f(n)=4∑i=n2n−110i+8∑i=1n−110i+9(n≥1)
接着套等比数列公式，得
f
(
n
)
=
4
9
(
1
0
2
n
−
1
0
n
)
+
8
9
(
1
0
n
−
10
)
+
9
f(n)=\frac{4}{9}{(10^{2n}-10^n)}+\frac{8}{9}{(10^{n}-10)}+9
f(n)=94(102n−10n)+98(10n−10)+9
化简，得
f
(
n
)
=
4
(
1
0
n
)
2
+
4
(
1
0
n
)
+
1
9
=
(
2
×
1
0
n
+
1
)
2
9
f(n)=\frac{4(10^n)^2+4(10^n)+1}{9}=\frac{(2\times10^n+1)^2}{9}
f(n)=94(10n)2+4(10n)+1=9(2×10n+1)2
开方，得
f
(
n
)
=
2
×
1
0
n
+
1
3
\sqrt{f(n)}=\frac{2\times10^n+1}{3}
f(n)=32×10n+1
因为
2
×
1
0
n
+
1
≡
0
(
m
o
d
3
)
(
n
≥
1
)
2\times10^n+1≡0(mod \ 3) (n\ge1)
2×10n+1≡0(mod 3)(n≥1)
所以
f
(
n
)
(
n
≥
1
)
\sqrt{f(n)}(n\ge1)
f(n)(n≥1)均为正整数
因此
f
(
n
)
(
n
≥
1
)
f(n)(n\ge1)
f(n)(n≥1)均为完全平方数
（2）已知
a
,
b
,
c
,
d
a,b,c,d
a,b,c,d为实数，且满足条件
a
+
b
+
c
+
d
+
e
=
8
,
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
+
e
2
=
16
a+b+c+d+e=8,a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16
a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16求实数
e
e
e的取值范围
解：
n
n
n个实数的和为
k
k
k时，其平方和的最小值为
n
(
n
k
)
2
n(\frac{n}{k})^2
n(kn)2
首先考虑正数范围内的下限，e可以取0，证明略
因为
e
2
=
(
−
e
)
2
e^2=(-e)^2
e2=(−e)2，所以使e在满足条件的情况下，尽可能在正数范围内大或在负数范围内小，都需要使得
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
a^2+b^2+c^2+d^2
a2+b2+c2+d2尽可能小，同时考虑e的正数范围内的上限的负数范围内的下限
当e确定时，
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
a^2+b^2+c^2+d^2
a2+b2+c2+d2最小值为
4
(
8
−
e
4
)
2
4(\frac{8-e}{4})^2
4(48−e)2
设e在正数范围内的上限的负数范围内的下限为E
所以
E
2
+
4
(
8
−
E
4
)
2
=
16
E^2+4(\frac{8-E}{4})^2=16
E2+4(48−E)2=16
解得
E
1
=
16
5
,
E
2
=
0
(
舍
)
E1=\frac{16}{5},E2=0(舍)
E1=516,E2=0(舍)
因此
0
≤
e
≤
16
5
0\le e \le \frac{16}{5}
0≤e≤516
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