SVO之逆深度滤波

最新推荐文章于 2023-03-05 14:52:16 发布

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#svo #深度滤波 #SLAM #VO

本文详细介绍了SVO（Simultaneous Localization And Mapping）中的逆深度滤波方法，涉及概率深度模型、贝叶斯推断、参数近似后验等关键概念。通过建立高斯+均匀分布混合模型描述测量值的似然概率，并使用变分推断推导参数近似，最终实现深度的精确估计。深度滤波的成功与patch选择、种子点管理和不确定性测量密切相关。

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文章目录

概率深度模型

贝叶斯推断

深度的测量包括两种，一种是正确的测量，一种是由于遮挡、图像变换或重复纹理导致的错误的测量。如块匹配时，有可能包括误差很大的外点。

研究发现：

好的测量值通常是分布在正确深度值附近的。

错误的测量是在深度范围 $Z_{min},Z_{max}]$ 之间的均匀分布。

因此，我们得到的结果通常是二者的混合。使用高斯+均匀分布混合模型来描述测量值的似然概率分布：
$\left( x _ { n } | Z , \pi \right) = \pi N \left( x _ { n } | Z , \tau _ { n } ^ { 2 } \right) + ( 1 - \pi ) U \left( x _ { n } | Z _ { \min } , Z _ { \max } \right) \tag{1}$
其中 $Z$ 是真实深度， $\pi$ 是为内点的概率， $\tau_n^2$ 是好的测量的方差，与两个相机的相对位置有关。

我们需要置信度来决定深度是否收敛，或者失败。最大后验不具有这个功能，EM算法容易陷入局部最优。使用贝叶斯推断，最大化后验分布。二阶矩来作为估计的置信度。
$\pi | x _ { 1 } \ldots x _ { N } ) \propto p ( Z , \pi ) \prod _ { n } p \left( x _ { n } | Z , \pi \right) \tag{2}$
求解这个问题，需要建立稠密的二维直方图如下图所示，会大大提升计算量。
在这里插入图片描述

参数近似后验

使用单模态参数后验，近似为深度高斯分布乘内点率Beta分布，有：
$\pi | a _ { n } , b _ { n } , \mu _ { n } , \sigma^2 _ { n } ) : = \operatorname { Beta } ( \pi | a _ { n } , b _ { n } ) N ( Z | \mu _ { n } , \sigma _ { n } ^ { 2 } ) \tag{3}$
其中 $a_n, b_n$ 分别表示在种子点生命周期内的内点，外点测量值出现的次数。 $\mu_n, \sigma_n^2$ 分别代表深度的均值和方差。若n-1是正确的后验，则递推的有新后验（Beta分布乘以二项分布还是Beta分布）：
$\times p \left( x _ { n } | Z , \pi \right) q ( Z , \pi | a _ { n - 1 } , b _ { n - 1 } , \mu _ { n - 1 } , \sigma _ { n - 1 } ^ { 2 } )\tag{4}$
参数化近似之后的计算结果也会收敛到相同的值，若收敛到错误值也可以通过外点率很低判断出来。
在这里插入图片描述
深度估计的成功与否，与patch选择的好坏有直接关系。

种子点使我们想要估计深度的一个像素，通过内点率来判断是否为外点，当没有搜索到局部最大值时，增加 $b_n$ 的值作为惩罚。

文献¹中由于帧间小运动，使用上一次估计均值附近的w个像素半径内进行搜索。
在这里插入图片描述

种子点的修剪

分为三种情况：

收敛，从list中移除，生成3D点；
未收敛，从list中删除；
等待，需要时间去收敛。

分别对应三种判断机制：

当前分布有99%概率内点率 $\pi<\eta_{outlier}$ ，则失败
内点率大于 $\eta_{inlier}$ ，并且深度方差 $\sigma_n< \epsilon$ ，则成功
其它

参数近似推导

变分推断推导²

对于观测量 $\bf X$ ，隐变量 $\bf Z$ :
$\ln p ( \mathbf { X } ) = \mathcal { L } ( q ) + \mathrm { KL } ( q \| p ) \tag{5}$
其中定义：
$\mathcal { L } ( q ) = \int q ( \mathbf { Z } ) \ln \left\{ \frac { p ( \mathbf { X } , \mathbf { Z } ) } { q ( \mathbf { Z } ) } \right\} \mathrm { d } \mathbf { Z } \tag{6}$

$\mathrm { KL } ( q \| p ) = - \int q ( \mathbf { Z } ) \ln \left\{ \frac { p ( \mathbf { Z } | \mathbf { X } ) } { q ( \mathbf { Z } ) } \right\} \mathrm { d } \mathbf { Z } \tag{7}$

与EM算法的差别在于，这里不包含参数 $\theta$ ，因为它是随机变量包含在了隐变量 $Z$ 中了。

我们的目标是最大化下界函数（6），使它接近最大似然的效果，这等价于最小化KL差异。即可以选择合适的 $q (Z)$ 使得
KL差异消失，所以我们选择 $q({\bf Z})=p({\bf Z|X})$ ，带入公式（7）可以发现 $\ln()$ 中结果是1，即KL=0。

合理的限制 $q({\bf Z})$ 族的方法是使用参数分布 $q({\bf Z}|\omega)$ ，下界函数（6）也变成了参数 $\omega$ 的函数。

把 $\bf Z$ 分解成独立的连乘形式：
$\mathbf { Z } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { M } q _ { i } \left( \mathbf { Z } _ { i } \right) \tag{8}$
把公式（8）带入公式（6）得到：
$\begin{aligned} \mathcal { L } ( q ) & = \int \prod _ { i } q _ { i } \left\{ \ln p ( \mathbf { X } , \mathbf { Z } ) - \sum _ { i } \ln q _ { i } \right\} \mathrm { d } \mathbf { Z } \\ & = \int q _ { j } \left\{ \int \ln p ( \mathbf { X } , \mathbf { Z } ) \prod _ { i \neq j } q _ { i } \mathrm { d } \mathbf { Z } _ { i } \right\} \mathrm { d } \mathbf { Z } _ { j } - \int q _ { j } \ln q _ { j } \mathrm { d } \mathbf { Z } _ { j } + \text { const } \\ & = \int q _ { j } \ln \widetilde { p } \left( \mathbf { X } , \mathbf { Z } _ { j } \right) \mathrm { d } \mathbf { Z } _ { j } - \int q _ { j } \ln q _ { j } \mathrm { d } \mathbf { Z } _ { j } + \mathrm { const } \end{aligned} \tag{9}$