IMU模型与标定

IMU传感器误差模型与标定方法

最新推荐文章于 2025-07-23 10:55:46 发布

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#IMU #传感器 #数学建模

本文详细介绍了IMU传感器的旋转运动学、测量模型与运动模型，特别是加速度计和陀螺仪的工作原理及误差模型。讨论了确定性误差如偏差、尺度因子、轴偏差，并提出了六面法定标确定性误差。还涵盖了随机误差，如高斯白噪声和随机游走，并介绍了Allan方差法进行随机误差标定。最后，概述了数学模型和离散积分方法，包括欧拉法、中值法和四阶龙格库塔法，以及整体的标定流程。

IMU传感器

旋转运动学

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旋转的线速度为：
$\begin{aligned} \dot{\mathbf{r}} &=(-a \dot{\theta} \sin \theta, a \dot{\theta} \cos \theta, 0)^{\top} \\ &=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {-\dot{\theta}} & {0} \\ {\dot{\theta}} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a \cos \theta} \\ {a \sin \theta} \\ {h}\end{array}\right] \\ &=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \end{aligned} \tag{1}$
取模得到角速度和线速度之间的关系：
$|\dot{\mathbf{r}}|=|\boldsymbol{\omega}||\mathbf{r}| \sin \phi=a|\dot{\theta}| \tag{2}$
从Body系和Inertial系分别看旋转运动得到的速度关系为：
$\begin{aligned} \dot{\mathbf{r}}_{I} &=\mathbf{R}_{I B} \dot{\mathbf{r}}_{B}+\dot{\mathbf{R}}_{I B} \mathbf{r}_{B} \\ &=\mathbf{R}_{I B} \dot{\mathbf{r}}_{B}+\left[\mathbf{R}_{I B} \boldsymbol{\omega}_{b}\right]_{ \times} \mathbf{r} \\ &=\mathbf{R}_{I B} \mathbf{v}_{b}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \end{aligned} \tag{3}$

$\mathbf{v}_{I} \equiv \mathbf{R}_{I B} \mathbf{v}_{b}+\omega \times \mathbf{r} \Leftrightarrow \mathbf{R}_{I B} \mathbf{v}_{b} \equiv \mathbf{v}_{I}-\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} \tag{4}$

对公式（3）中速度求导得到加速度：
$\begin{aligned} \ddot{\mathbf{r}}_{I} &=\mathbf{R}_{I B} \dot{\mathbf{v}}_{B}+\dot{\mathbf{R}}_{I B} \mathbf{v}_{B}+\boldsymbol{\omega} \times \dot{\mathbf{r}}+\left[\dot{\mathbf{R}}_{I B} \boldsymbol{\omega}_{b}+\mathbf{R}_{I B} \dot{\boldsymbol{\omega}}_{b}\right]_{ \times} \mathbf{r} \\ &=\mathbf{R}_{I B} \mathbf{a}_{B}+2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}+\boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r} \end{aligned} \tag{5}$
对公式（5）进行变形得到：

$\mathbf{a}=\mathbf{a}_{I}-\underbrace{2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}}_{\text 科氏力}- \underbrace{\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}}_{\text 欧拉力}- \underbrace{\boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})}_{\text 离心力} \tag{6}$
其中： $\mathbf{v}=\mathbf{R}_{I B} \mathbf{v}_{b}$ ， $\mathbf{a}=\mathbf{R}_{I B} \mathbf{a}_{b}$ ，它们表示body下的速度或加速度在Inertial系下的表示。要区别这几种表示，习惯了找一个真实值，只不过是不同系下的不同表示罢了

测量模型与运动模型

MEMS加速度计

使用电容或者电阻桥来进行测量，注意有可能测出来的加速度计值方向是与实际力相反的，因为是使用弹簧测出的惯性力。

加速度计的质量块没有高速运动，不受科氏力影响

陀螺仪

振动陀螺仪使用的是科氏力作用来测得旋转，一个主运动轴+一个敏感轴，与运动方向垂直方向（敏感轴方向）受一个科氏力。

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一般使用两个运动方向相反的质量块来侧科氏力，这样可以抵消加速度的影响。若质量不一致会导致有差别。

IMU误差模型

分为：确定性误差，随机误差。前者可以提前标定，后者建模成高斯分布。

确定性误差

偏差bias
尺度因子Scale
轴偏差（非正交误差）
Run-to-Run Bias/Scale Factor 即每次上电启动的值都不一样
In Run (Stability) Bias/Scale Factor 即在运行过程中也会发生变化
Temperature-Dependent Bias/Scale Factor 即受温度影响的变化值

尺度因子和非对称误差为：
$\left[\begin{array}{l}{l_{a x}} \\ {l_{a y}} \\ {l_{a z}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}{s_{x x}} & {m_{x y}} & {m_{x z}} \\ {m_{y x}} & {s_{y y}} & {m_{y z}} \\ {m_{z x}} & {m_{z y}} & {s_{z z}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a_{x}} \\ {a_{y}} \\ {a_{z}}\end{array}\right] \tag{7}$