最小生成树 学习笔记

连通图才有生成树，所以假定图是连通的。而且对于任意一个点作为树根，都能见一颗最小生成树，所以最小生成树在形式上不是唯一的。

 

 

prim算法：

实现：设T为生成树的子图，不断选取T连接剩下点集的最短边。

证明：设T为生成树的子图，设e为所说的最短边，假设不连e边，连其他任意边f，我们都可以通过删除f连e边建立一个新的树，树的总权值只会更小。

用堆维护。实现起来很简单就不帖代码了。

 

kruskal算法：

实现：把所有边的权值排序一遍，只要不产生圈加入就行。

证明：很显然是对的。

如何判圈：并查集判连通分量。

为什么最终这些“零散的边”能形成一棵树？假设点的总数是V个我们选择了V-1条不带圈的边，那就是一个不带圈的连通图，自然会形成一棵树（只能这么说）；

算法复杂度主要在于排序和并查集的维护具体不好估计反正和prim差不多。