线性代数：单位矩阵与逆矩阵

1、单位矩阵

$I_{n}=(i_{kj}) = { \begin{array} 01\ , if \ k = j \ ; \ 0 \ ,if \ k \neq j \end{array} $
单位矩阵的特点是对角线为1(行号等于列号的单元元素值为1 )，其它元素值为0, 是一个方阵，且有$I\times A=A;A\times I=A$，当$I$矩阵的每个行向量与$A$矩阵的列向量进行乘的时候，由于$I$矩阵的行向量第$i$列才有值，所以相当于从$A$矩阵的列向量中提取第$i$个元素的值$\to a_{ij}={\vec{r}}_i\cdot {\vec{c}}_j={\vec{c}}_{j(i)}$
$I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ $I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
python的numpy 库初始化一个3*3单位矩阵np.identity(n = 3)

2、矩阵的逆 $T^{-1}$

当存在矩阵$B$ 与矩阵$A$ 相乘满足条件 $ A \times B = B \times A = I$，则称$B$是矩阵$A$的逆，记作：$B = A^{-1}$ 。可逆矩阵一定是方阵，非方阵一定不可逆，只有方阵才有逆。
单位矩与逆矩阵的关系: $A^0=A\times A^{-1}=I$
矩阵的负幂计算：$A^{-2}=(A^{-1}{)}^2$ ，这一类计算应用的很少。
python的numpy 对矩阵$A$求逆矩阵$invA$：invA = np.linalg.inv(A)

2.1、奇异矩阵 与 非奇异矩阵

在矩阵系统中，大量的矩阵不存在逆矩阵，但总体而言，可逆矩阵在矩阵系统中还是居多的，只是相比不可逆矩阵而言少的多。
满足可逆条件的矩阵称为可逆矩阵，也叫做$非奇异矩阵(non-sigular)$，意思是这种矩阵是非常平凡的矩阵，正规的矩阵(regular-matrix)；而不可逆矩阵则称为$奇异矩阵(singular)$。

2.2、矩阵的逆的性质

① 对矩阵$A$而言，若存在逆矩阵$B$则$B$唯一
② $(A^{-1}{)}^{-1}=A$ ，$A$矩阵的逆矩阵的逆还是$A$;
反证法证明如下:$$\begin{gathered} 令A^{-1}=X,转而求证X^{-1}=A \\ \because X\cdot A=I=A\cdot X \\ 又\because X=A^{-1} \\ \therefore 得A^{-1}\cdot A=I=A\cdot A^{-1} \\ \therefore X^{-1}=A\to (A^{-1}{)}^{-1}=A \end{gathered}$$

③ $(A\cdot B{)}^{-1}=A^{-1}\cdot B^{-1}\to (AB)\cdot (A^{-1}{B}^{-1})=I\to A(B\cdot B^{-1})A^{-1}=AI{A}^{-1}=I$
④ $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$，矩阵$A$的转置的逆等于$A$的逆的转置; 求证:$\because A^T\cdot (A^{-1}{)}^T=I\to (A\cdot A^{-1}{)}^T=I^T=I\to \therefore 得证(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$