线性代数基础：向量与矩阵的运算

*线性代数基础：向量与矩阵的运算

1.背景介绍

线性代数是数学的一个重要分支,它研究向量空间理论以及在该空间中的向量和矩阵之间的运算。线性代数为许多领域奠定了理论基础,如计算机图形学、机器学习、计算机视觉、信号处理、控制理论等。掌握线性代数知识对于理解和应用这些领域的算法和模型至关重要。

向量和矩阵是线性代数中最基本的概念和运算对象。向量可以表示几何空间中的点或方向,而矩阵则可以表示线性变换、数据集等。通过对向量和矩阵进行各种运算,我们可以解决许多实际问题。

2.核心概念与联系

2.1 向量

向量是一个由有序实数组成的元组,可以表示几何空间中的一个点或方向。向量通常用一个带箭头的线段表示,箭头的长度表示向量的大小,箭头的方向表示向量的方向。

我们通常使用粗体小写字母(如$\vec{a}$)来表示向量。一个$n$维向量可以表示为:

$$\vec{a} = \begin{bmatrix} a_1\ a_2\ \vdots\ a_n \end{bmatrix}$$

其中,$a_1, a_2, \ldots, a_n$是向量的分量。

2.2 矩阵

矩阵是一个由$m$行$n$列元素排列成的矩形阵列。矩阵通常用大写字母(如$A$)表示,其中元素用下标表示行和列。一个$m \times n$矩阵可以表示为:

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &am