2020牛客国庆集训派对day2 F-SUM OF SUB RECTANGLE AREAS

最新推荐文章于 2024-08-05 14:32:39 发布

原创最新推荐文章于 2024-08-05 14:32:39 发布 · 975 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

数论专栏收录该内容

15 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种计算所有子矩阵权值之和的方法，适用于N*N的矩阵，其中每个元素都为1。通过数学推导得出了简洁的公式，并使用Java大数BigInteger实现了高效算法。

2020牛客国庆集训派对day2 F-SUM OF SUB RECTANGLE AREAS 数学推导+大数相乘

传送门： https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7818/F

题意

给一个N*N的矩阵，每一位上都是1，求所有子矩阵的权值之和。

思路

$设 n = 3 ；$
考虑子矩阵大小为 $i * j$ 的个数 $x$ ，即该大小的所有子矩阵的权值为 $x * i * j$ 。
$1 * 2$ 子矩阵:每行个数为 $2$ 个，有 $3$ 列，即总权值为 $2 * 3 * （ 1 * 2 ） - - 2 * 3$ 为该矩阵在n*n矩阵中的个数， $1 * 2$ 为该子矩阵里的权值。
$2 * 3$ 子矩阵：每两行有 $1$ 个，一共 $2$ 个两行，权值为 $2 * 3$ ，即总权值为 $1 * 2 * 2 * 3$ 。

根据上面推导出：在 $n * n$ 的矩阵中，有 $i * j$ 子矩阵的个数为 $(n - i + 1) * (n - j + 1)$ ，即总权值为 $(n - i + 1) * (n - j + 1) * i * j$ 。
即总答案为：
$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(n - i + 1) * (n - j + 1) * i * j$

$ans=[\sum_{i=1}^n(n-i+1)i]^2$

$ans=[\frac{n^2(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}]^2$

$ans=[\frac{n * (n + 1)*(n+ 2)}{6}]^2$

因为题目说会爆longlong，所以我这里用的是JAVA大数BigInteger，python也可（不过我不会）。

Code(71MS)


import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main
{
	public static void main(String[] args){
		Scanner in = new Scanner(System.in);
        int T;
        T = in.nextInt();
        for(int i = 1;i <= T; i++) {
		    long n;
		    n = in.nextLong();
		    BigInteger ans = new BigInteger("1");
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n));
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 1));
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 2));
		    ans = ans.divide(BigInteger.valueOf(6));
		    ans = ans.multiply(ans);
		    System.out.println(ans);
	    }
    }
}