2020牛客国庆集训派对day2 F-SUM OF SUB RECTANGLE AREAS 数学推导+大数相乘
传送门: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7818/F
题意
给一个N*N的矩阵,每一位上都是1,求所有子矩阵的权值之和。
思路
设
n
=
3
;
设n = 3;
设n=3;
考虑子矩阵大小为
i
∗
j
i * j
i∗j的个数
x
x
x,即该大小的所有子矩阵的权值为
x
∗
i
∗
j
x* i * j
x∗i∗j。
1
∗
2
1 * 2
1∗2子矩阵:每行个数为
2
2
2个,有
3
3
3列,即总权值为
2
∗
3
∗
(
1
∗
2
)
−
−
2
∗
3
2 * 3 * (1 * 2)--2 * 3
2∗3∗(1∗2)−−2∗3为该矩阵在n*n矩阵中的个数,
1
∗
2
1 * 2
1∗2为该子矩阵里的权值。
2
∗
3
2 * 3
2∗3子矩阵:每两行有
1
1
1个,一共
2
2
2个两行,权值为
2
∗
3
2*3
2∗3,即总权值为
1
∗
2
∗
2
∗
3
1 * 2 * 2 * 3
1∗2∗2∗3。
根据上面推导出:在
n
∗
n
n*n
n∗n的矩阵中,有
i
∗
j
i*j
i∗j子矩阵的个数为
(
n
−
i
+
1
)
∗
(
n
−
j
+
1
)
(n - i + 1) * (n - j + 1)
(n−i+1)∗(n−j+1),即总权值为
(
n
−
i
+
1
)
∗
(
n
−
j
+
1
)
∗
i
∗
j
(n - i + 1) * (n - j + 1) * i * j
(n−i+1)∗(n−j+1)∗i∗j。
即总答案为:
a
n
s
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
n
−
i
+
1
)
∗
(
n
−
j
+
1
)
∗
i
∗
j
ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(n - i + 1) * (n - j + 1) * i * j
ans=i=1∑nj=1∑n(n−i+1)∗(n−j+1)∗i∗j
a n s = [ ∑ i = 1 n ( n − i + 1 ) i ] 2 ans=[\sum_{i=1}^n(n-i+1)i]^2 ans=[i=1∑n(n−i+1)i]2
a n s = [ n 2 ( n + 1 ) 2 − n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + n ( n + 1 ) 2 ] 2 ans=[\frac{n^2(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}]^2 ans=[2n2(n+1)−6n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)]2
a n s = [ n ∗ ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) 6 ] 2 ans=[\frac{n * (n + 1)*(n+ 2)}{6}]^2 ans=[6n∗(n+1)∗(n+2)]2
因为题目说会爆longlong,所以我这里用的是JAVA大数BigInteger,python也可(不过我不会)。
Code(71MS)
import java.util.*;
import java.math.*;
public class Main
{
public static void main(String[] args){
Scanner in = new Scanner(System.in);
int T;
T = in.nextInt();
for(int i = 1;i <= T; i++) {
long n;
n = in.nextLong();
BigInteger ans = new BigInteger("1");
ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n));
ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 1));
ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 2));
ans = ans.divide(BigInteger.valueOf(6));
ans = ans.multiply(ans);
System.out.println(ans);
}
}
}
本文介绍了一种计算所有子矩阵权值之和的方法,适用于N*N的矩阵,其中每个元素都为1。通过数学推导得出了简洁的公式,并使用Java大数BigInteger实现了高效算法。
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