数值分析复习笔记-第九章-常微分方程初边值问题

最新推荐文章于 2025-08-29 16:16:54 发布

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本文介绍了微分方程的两类问题——初值问题和边界值问题，并重点探讨了欧拉法及其改进，包括欧拉法、后退欧拉法、梯形欧拉法以及预估校正法。此外，还讲解了Runge-Kutta公式，特别是二阶Runge-Kutta方法的构造过程和特点，以及单步法的收敛性和稳定性概念。

Chapter9 常微分方程初边值问题

对微分方程，主要有两类问题：
- 初值问题
  $\left \{ \begin{aligned} y'=f(x,y) \\ y(a)=y_0 \end{aligned} \right.$
- 边界值问题
  $\left \{ \begin{aligned} y'&=f(x,y) \\ y(a)&=\alpha,y(b)=\beta \end{aligned} \right.$
其中， $x∈[a,b]x\in[a,b]$ ， $y∈Rmy\in R^m$
$\left \{ \begin{aligned} m&=1,微分方程 \\ m&>1,微分方程组 \end{aligned} \right.$
本章节考点：
- 欧拉公式及其改进：欧拉公式、局部截断、p阶方法
- 龙格-库塔公式：泰勒级数、二阶Runge-kutta
- 单步法的收敛性和稳定性：会用即可

很简单，就是一阶差分+近似：
$y'(x_n)=f(x_n,y(x_n))\\ \downarrow\\ h=x_{n+1}-x_n=\frac{b-a}{N}\\ \downarrow\\ y'(x_n)\boldsymbol{\approx}\frac{y(x_{n+1})-y(x_{n})}{x_{n+1}-x_n}=\frac{y(x_{n+1})-y(x_{n})}{h}\\ \downarrow\\ y(x_{n+1})\boldsymbol{\approx}y(x_{n})+hf(x_n,y(x_n))\\ \downarrow\\ y(x_{n+1})\boldsymbol{\approx}y_{n+1}\\ \downarrow\\ y_{n+1}=y_{n}+hf(x_n,y_{n})$
几何意义：化曲为直->用多段折线来反映曲线

实例代码：

function [x,y]=odeEuler(f,y0,a,b,N)
h=(b-a)/N;
x=a:h:b;
y(1)=y0;
for n=1:N
    y(n+1)=y(n)+h*feval(f,x(n),y(n));
end

局部截断误差：假设前n次精确，第n+1次的误差=> $yn+1^\widehat{y_{n+1}}$ 是用前n次真解算的
$y(xn+1)−yn+1^=εn+1y(x_{n+1})-\widehat{y_{n+1}}=\varepsilon_{n+1}$
整体截断误差：前n次累积误差， $y_{n}$ 是第n次近似解，误差会逐层累积
$y(x_{n})-y_{n}=e_{n}$
p-阶方法：局部截断误差为 $εn+1=O(hp+1)\varepsilon_{n+1}=O(h^{p+1})$ ，即局部截断误差是 $h^{p+1}$ 的等价无穷小，这个就称为p阶精度和p阶方法
常用方法：

欧拉方法：1阶方法
$εn+1=y(xn+1)−yn+1^\varepsilon_{n+1}=y(x_{n+1})-\widehat{y_{n+1}}$
$y(xn+1)=y(xn)+hy′(xn+1)+h22y′′(ξ)y(x_{n+1})=y(x_{n})+hy'(x_{n+1})+\frac{h^2}{2}y''(\xi)$