数值分析复习笔记-第八章-特征值

Chapter8 矩阵特征值与特征向量的计算

7.1 前言

1. 一般求法：
   • 先由$|A-\lambda E|=0$求特征值$\lambda$
   • 再有$(A-\lambda E)x=0$求特征向量$x$
2. 对阶数特别多的矩阵A难以求行列式，这个时候就需要数值解法来求矩阵的特征值
3. 方法：
   • 乘幂法：求主特征值
   • 反幂法：求最小的特征值

7.2 乘幂法

7.2.1 特点

1. 求主特征值和特征向量
2. 假设，对实数矩阵A：
   • 其有n个线性无关的特征向量$x^{(i)},i=1,2,\cdots ,n$
   • $A{x}^{(i)}={\lambda }_i{x}^{(i)}$，其中${\lambda }_i$是实特征值且满足$|{\lambda }_1|>|{\lambda }_2|\ge \cdots \ge |{\lambda }_n|>0$
3. 优点：算法简单，易于实现，对于高阶稀疏矩阵较为合适
4. 缺点：收敛速度依赖于$|\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}{|}^k$，越小越快

7.2.2 原始乘幂法

1. 基本步骤：
   • 任取非0列向量$v^{(0)}$
   • $v^{(1)}=A{v}^{(0)}\to \cdots \to v^{(k+1)}=A{v}^{(k)}$
   • $v^{(k+1)}=A{v}^{(k)}\approx {\lambda }_1{v}^{(k)}$
   • ${\lambda }_1\approx \frac{v^{(k+1)}}{v^{(k)}}$
2. 证明：由归纳法，提出最大特征值${\lambda }_1$，其余项趋近于0

选定初始列向量$v^{(0)}$，由于特征向量线性无关
$$v^{(0)}=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}^{(i)}={\alpha }_1{x}^{(1)}+{\alpha }_2{x}^{(2)}+\cdots +{\alpha }_n{x}^{(n)}$$
通过迭代关系$v^{(1)}=A{v}^{(0)}$和特征向量定义式$A{x}^{(i)}={\lambda }_i{x}^{(i)}$
$$v^{(1)}=A{v}^{(0)}=\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}A{x}^{(i)}=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\lambda }_i{x}^{(i)}$$