四边形不等式优化详解

废话

这大概是跟斜率优化一样神的东西qwq，但是证明复杂一点，以及似乎用到的题目也少一点，毕竟使用条件有点苛刻。

正题

它用来加速类似这样的 $dp$： f [ i ] [ j ] = min ⁡ k = i j − 1 { f [ i ] [ k ] + f [ k + 1 ] [ j ] + w ( i , j ) } f[i][j]=\min_{k=i}^{j-1}\{f[i][k]+f[k+1][j]+w(i,j)\} f[i][j]=mink=ij−1​{ f[i][k]+f[k+1][j]+w(i,j)}。

每道题 $dp$ 不一样，不一定都是这种形式，这里只是以这种可能比较经典的作为例子。其中，$w(i,j)$ 表示这一步操作的代价（贡献）。

特别的，设 $f[i][i]=w(i,i)=0$。

以及，虽然这个例子看起来很像区间 $dp$，但是四边形不等式优化的使用是不局限于区间 $dp$ 的。

优化需要经过多步证明，都满足了就可以将这样的 $O(n^3)$ 枚举优化到 $O(n^2)$，实质上是优化了 $k$ 的枚举。

使用步骤

1. 证明 $w$ 满足四边形不等式
2. 证明 $w$ 满足 $w(a,d)\ge w(b,c)(a\le b\le c\le d)$
3. 利用 $1,2$ 证明 $f$ 满足四边形不等式
4. 设 $p(i,j)$ 表示 $f[i][j]$ 的最优决策点（也就是最优的 $k$），证明 $p(i,j-1)\le p(i,j)\le p(i+1,j)$

做完这四步后，根据最后证明出来的这个柿子，对于当前的 $i,j$，枚举 $k$ 时只需要在 $p(i,j-1)$ 到 $p(i+1,j)$ 之间枚举就好，可以证明这样的时间复杂度为 $O(n^2)$（证明最后有）。

由于对于每一题的证明都不一样，所以下面只能讲一些用来帮助证明的定理和推论。

四边形不等式

假如对于任意 $a\le b\le c\le d$，满足 $w(a,c)+w(b,d)\le w(b,c)+w(a,d)$，那么称 $w$ 满足四边形不等式。（务必背下这个柿子qwq）

推论： 假如对于任意 $a<c$，满足 $w(a,c)+w(a+1,c+1)\le w(a+1,c)+w(a,c+1)$，那么 $w$ 满足四边形不等式。

证明：

设 $a+1<c$，那么有 $a<c$，则有：
$$w(a,c)+w(a+1,c+1)\le w(a+1,c)+w(a,c+1)(1)$$

因为 $a+1<c$，所以有：
$$w(a+1,c)+w(a+2,c+1)\le w(a+2,c)+w(a+1,c+1)(2)$$

$(1)(2)$两式相加，消去左右相同的项，得到：
$$w(a,c)+w(a+2,c+1)\le w(a+2,c)+w(a,c+1)(3)$$

$(3)$ 式相比 $(1)$ 式，就是 $a+1$ 都变成了 $a+2$，以此类推下去，就可以变成任意 $a+k$，设 $b=a+k$，于是有：
$$w(a,c)+w(b,c+1)\le w(b,c)+w(a,c+1)$$

同理，可以将 $c$