四边形不等式（优化区间DP技巧）

最新推荐文章于 2025-09-22 21:51:17 发布

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#动态规划

本文探讨了如何使用四边形不等式优化区间动态规划问题，指出只有当w函数关于区间的两个端点是二元函数时才能进行优化。通过验证w函数的单调性和四边形不等式，可以简化动态转移过程，降低复杂度到O(n^2)。文章提供了验证代码和优化后的动态转移代码，并推荐了几道相关练习题。

大家应该都知道一般我们在区间dp的更新中都需要三层循环来实现，第一层枚举区间长度，第二层枚举区间起始点，第三层就是枚举区间断点来寻求最优解，对于动态规划问题来说n^3的复杂度属实有点高，那我们能不能找到一些方法来优化一下呢？首先我们能够发现for循环的第一层和第二层肯定不能优化，前两层保证了对于任何区间都能够被更新，而第三层只是为了找最优解而设立的，如果我们能缩短第三层for循环的次数，那么肯定能对整个动态规划过程起到优化作用，而四边形不等式就是为了优化第三层for循环而产生的。

先说一下什么样的区间动态规划问题能够使用四边形不等式进行优化，首先是w函数（就是每次进行区间合并所需要消耗的权值）需要具备以下两个性质：

我还是想跟大家先谈论一下w函数的问题，不同的区间问题的w函数是不一样的，一般都是以w[i][j]表示合并第i~j个物品所需要消耗的权值，比如石子合并问题中我们合并第i~j堆石子所需要消耗的权值就是第i~j堆石子的个数之和，这是一个定值，也只有当w只与i和j有关时才能讨论w单调性以及是否满足四边形不等式这些问题，那是不是所有的w[i][j]都只和i以及j有关呢？肯定不是的，举一个简单的例子，我们进行矩阵相乘，最后一次合并i~j个矩阵的计算次数与端点有关系，所以说此时的w并不是一个仅仅与i和j有关的函数，这个就无法进行四边形不等式优化。总之，只有满足w[i][j]是关于i和j的二元函数时才能讨论单调性和四边形不等式的问题。