常系数齐次线性微分方程的解法_常系数齐次线性方程求解特征根-优快云博客

博客介绍了常系数齐次线性微分方程的形式及特征方程。通过求解特征方程得到特征根，针对特征根为单根（实数根和复根）、有重根的不同情况，分别给出了方程通解的表达式，若有复根则按特定规则替换通解中的部分项。

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常系数齐次线性微分方程的解法

常系数齐次线性微分方程的形式：

$dnxdtn+a1dn−1xdtn−1+⋯+an−1dxdt+anx=0(1)\frac{d^nx}{dt^n}+a_1\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}\frac{dx}{dt}+a_nx=0\tag{1}$

特征方程为

$F(λ)≡λn+a1λn−1+⋯+an−1λ+an=0(2)F(\lambda)\equiv\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n=0\tag{2}$

求解特征方程，得到特征根，下面对特征根的不同情况进行讨论

特征根是单根的情形

如果特征根都为实数，方程的通解为：

$x=c1eλ1t+c2eλ2t+⋯+cneλnt(3)x=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}+\cdots+c_ne^{\lambda_nt}\tag{3}$

如果特征根为复根，则复根会成对共轭的出现，设 $λ1=α+iβ\lambda_1=\alpha+i\beta$ , $λ2=α−iβ\lambda_2=\alpha-i\beta$ ,则实值解为：
$eαtcos⁡βt,eαtsin⁡βte^{\alpha t}\cos\beta t,\qquad e^{\alpha t}\sin\beta t$

把（3）中的 $eλ1te^{\lambda_1 t}$ , $eλ2te^{\lambda_2 t}$ 换成 $eαtcos⁡βt,eαtsin⁡βte^{\alpha t}\cos\beta t,e^{\alpha t}\sin\beta t$ ，即可。

所以方程的通解为

$x=c1eαtcos⁡βt+c2eαtsin⁡βt+⋯+cneλnt(4)x=c_1e^{\alpha t}\cos\beta t+c_2e^{\alpha t}\sin\beta t+\cdots+c_ne^{\lambda_n t}\tag{4}$

特征根有重根的情形

$λi\lambda_i$ 是 $k_i$ 重根，则方程的通解为

$x=c11eλ1t+c12teλ1t+c13t2eλ1t+⋯+c1,k1tk1−1eλ1t+c21eλ2t+c22teλ2t+c23t2eλ2t+⋯+c2,k2tk2−1eλ2t⋮\begin{aligned} x&=c_{11}e^{\lambda_1t}+c_{12}te^{\lambda_1t}+c_{13}t^2e^{\lambda_1t}+\cdots+c_{1,k_1}t^{k_1-1}e^{\lambda_1t}\\ &+c_{21}e^{\lambda_2t}+c_{22}te^{\lambda_2t}+c_{23}t^2e^{\lambda_2t}+\cdots+c_{2,k_2}t^{k_2-1}e^{\lambda_2t}\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\vdots\\\end{aligned}$