2660: [Beijing wc2012]最多的方案

最新推荐文章于 2023-03-10 17:05:43 发布

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本文介绍了一种利用斐波那契数列解决整数拆分问题的方法，并通过动态规划实现。具体讨论了如何将一个整数n拆分为若干不同的斐波那契数之和，以及计算所有可能的不同拆分方案的数量。

题目链接

题目大意：把n拆分成一些斐波那契数和的形式，要求不同的方案中不能有相同的斐波那契数，求方案数

题解：由于斐波那契数增长较快，int范围内只有不到50项，感觉可以暴力，但是不知道怎么暴……

$贪心的用最大的数将n分解，用p[]记录分解的方案$
$每个斐波那契数都可以用它之前的两个数替换$

$f[i][1/0]表示选/不选贪心得到的第i个斐波那契数的方案。$
$f[i][1]=f[i-1][0]+f[i-1][1]$
$p[i]-p[i-1]表示中间的空位数(即p[i-1]，p[i-1]+1…p[i]-1)，可以分裂的方案数是空位数/2，如果选了p[i-1]空位数要减去1$
$f[i][0]=f[i-1][0]*((p[i]-p[i-1])/2)+f[i-1][1]*((p[i]-p[i-1]-1)/2)$
$f[1][1]=1,f[1][0]=(pos[1]-1)/2$

我的收获：reverse函数……神奇dp

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int M=105;
#define ll long long

int tot,pos[M];
ll n,fib[M];
ll f[M][M];

void DP()
{
    f[1][1]=1,f[1][0]=(pos[1]-1)/2;
    for(int i=2;i<=tot;i++){
        f[i][1]=f[i-1][0]+f[i-1][1];
        f[i][0]=f[i-1][0]*((pos[i]-pos[i-1])>>1)+f[i-1][1]*((pos[i]-pos[i-1]-1)>>1);
    } 
}

void work()
{
    DP();
    printf("%lld\n",f[tot][0]+f[tot][1]);
}

void init()
{
    fib[1]=1;fib[2]=2;
    for(int i=3;i<=88;i++) fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    cin>>n;
    for(int i=88;i>=1;i--) if(n>=fib[i]) pos[++tot]=i,n-=fib[i];
    reverse(pos+1,pos+tot+1);
}

int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}