2705: [SDOI2012]Longge的问题

Mmh2000

于 2017-08-16 21:14:03 发布

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分类专栏： 2501-2750

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本文介绍了一种求解∑gcd(i,N) (1≤i≤N)的高效算法，通过数学推导简化了问题，并给出了具体的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

题目大意：求∑gcd(i, N)(1<=i <=N)

题解：

\sum i = 1 n g c d (i, n)

$\sum_{i=1}^{n}gcd(i,n)$

= \sum d | n d \sum i = 1 n [g c d (i, n) = = d]

$=\sum_{d|n}^{}d\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==d]$

令 n' = [n / d]

$令n'=[n/d]$

= \sum d | n d \sum i = 1 n' [g c d (i, n') = = 1]

$=\sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{n'}[gcd(i,n')==1]$

= \sum d | n d * ϕ (n')

$=\sum_{d|n}d*\phi(n')$

因为范围太大没法筛，直接求就可以了

我的收获：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

#define ll long long 

ll n,ans;

ll phi(ll x){
    ll ret=x;
    for(ll i=2;i*i<=x;i++)
    if(x%i==0){ret-=ret/i;while(x%i==0) x/=i;}
    if(x>1) ret-=ret/x;
    return ret;
}

void work()
{
    cin>>n;
    for(ll i=1;i*i<=n;i++)
    if(n%i==0){
        ans+=i*phi(n/i);
        if(i*i<n) ans+=(n/i)*phi(i);
    }
    cout<<ans<<endl;
} 

int main()
{
    work();
    return 0;
}