【半空间Sommerfeld积分电场集成器】使用二重格林函数来计算由电偶极子或磁偶极子在顶部介质中产生的精确场研究附Matlab代码

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一、研究背景与意义

在电磁学领域，半空间介质环境下的电磁场计算是天线设计、无线通信、地质勘探、生物电磁学等诸多工程与科研领域的核心基础问题。当电偶极子或磁偶极子位于半空间顶部介质中时，其产生的电磁场会受到上下介质分界面的反射、折射与透射作用，导致场分布呈现复杂的多波叠加特性（直达波、反射波、表面波等）。传统的近似计算方法（如镜像法）虽能简化计算，但在近场区域、高对比度介质或宽频带场景下误差较大，难以满足高精度应用需求。

Sommerfeld积分是描述半空间电磁散射与辐射问题的经典数学工具，能够精确表征偶极子在半空间中的场分布，但该积分属于广义积分，存在慢收敛、奇异性等计算难点，限制了其工程应用效率。二重格林函数作为描述半空间电磁响应的核心函数，可精准刻画介质分界面对电磁场的调制作用，为偶极子场的精确求解提供理论支撑。

为此，本文开展基于二重格林函数的半空间Sommerfeld积分电场集成器研究，旨在构建高效、精确的偶极子场计算模型，解决Sommerfeld积分的数值计算难题，实现顶部介质中电偶极子/磁偶极子产生精确场的快速求解，为半空间电磁问题的高精度分析提供技术支撑与工具保障。

二、核心理论基础

2.1 半空间介质模型与偶极子辐射特性

本文研究的半空间模型由上下两种均匀各向同性介质组成，分界面为无限大平面（设为z=0平面），顶部介质（z>0）的电磁参数为介电常数ε₁、磁导率μ₁、电导率σ₁，底部介质（z<0）的电磁参数为ε₂、μ₂、σ₂。电偶极子或磁偶极子位于顶部介质中，坐标为(r₀, z₀)（z₀>0），偶极矩方向可任意设定（如z方向、水平方向）。

偶极子在无限均匀介质中产生的电磁场可通过麦克斯韦方程组直接求解，其场分布具有球对称特性；而在半空间介质中，分界面会引发电磁波的反射与透射，反射波与透射波的幅值、相位由菲涅尔反射/透射系数决定，同时会激发沿分界面传播的表面波（如Zenneck波），导致最终的总场为直达波、反射波与表面波的叠加。

2.2 二重格林函数理论

格林函数是描述线性系统响应的核心工具，二重格林函数（也称为并矢格林函数）用于表征半空间介质中单位点源（偶极子）产生的电磁场响应，可将任意分布源的电磁场求解转化为格林函数与源分布的卷积运算。对于半空间电磁辐射问题，二重格林函数G(r, r')定义为：在源点r'处作用单位偶极子源时，场点r处产生的电场强度张量。

基于麦克斯韦方程组与半空间边界条件（分界面处电场切向分量连续、磁场切向分量连续、电位移矢量法向分量连续、磁感应强度法向分量连续），可通过矢量亥姆霍兹方程推导得到顶部介质中场点r处的二重格林函数表达式，其核心形式可分解为直达波格林函数G_d(r, r')与反射波格林函数G_r(r, r')两部分，即：G(r, r') = G_d(r, r') + G_r(r, r')。其中，直达波格林函数对应偶极子在无限均匀介质中的辐射响应，反射波格林函数则表征分界面反射作用产生的电磁响应，包含反射体波与表面波的贡献。

2.3 Sommerfeld积分的建立

对于半空间顶部介质中偶极子的辐射问题，其产生的电场强度可通过二重格林函数与偶极子源的卷积求解，最终可转化为Sommerfeld积分形式。以z方向电偶极子为例，其在顶部介质中场点(r, z)（r为径向距离，z>0）产生的径向电场E_r与轴向电场E_z可表示为：

E_r(r, z) = (k₁² p_z / (4πε₁)) ∫₀^∞ [ (1 - 2k_ρ²/k₁²) / (k_z₁) ] J₁(k_ρ r) e^(-j k_z₁ |z - z₀|) dk_ρ + 反射项积分

E_z(r, z) = (k₁² p_z / (4πε₁)) ∫₀^∞ [ 2k_ρ²/(k₁² k_z₁) ] J₀(k_ρ r) e^(-j k_z₁ |z - z₀|) dk_ρ + 反射项积分

其中，k₁ = ω√(μ₁ ε₁)为顶部介质中的波数，k_ρ为横向波数，k_z₁ = √(k₁² - k_ρ²)为纵向波数，p_z为z方向电偶极矩，J₀、J₁分别为零阶、一阶贝塞尔函数，反射项积分由分界面反射作用产生，其形式与直达波积分类似，需引入菲涅尔反射系数修正。

Sommerfeld积分的核心难点在于：当k_ρ接近k₁时（即表面波区域），积分被积函数呈现强烈的振荡特性，导致积分收敛速度极慢；同时，当场点与源点位于同一高度（z=z₀）或分界面附近时，积分存在奇异性，常规数值积分方法难以精准求解。

三、半空间Sommerfeld积分电场集成器设计

本文设计的半空间Sommerfeld积分电场集成器以二重格林函数为理论核心，通过积分核优化、数值积分算法改进、奇异性处理等关键技术，实现偶极子精确场的高效计算。集成器的整体架构分为输入模块、预处理模块、积分计算模块、后处理模块四个部分，具体设计如下：

3.1 输入模块

输入模块负责接收用户设定的计算参数，包括：

• 介质参数：顶部/底部介质的ε、μ、σ；

• 偶极子参数：偶极子类型（电偶极子/磁偶极子）、偶极矩大小与方向、源点坐标(z₀)；

• 计算参数：场点坐标范围（r范围、z范围）、计算频率、积分精度要求、最大迭代次数。

3.2 预处理模块

预处理模块主要完成参数校验、积分核优化与奇异性判断，为后续积分计算提供基础：

• 参数校验：验证输入参数的合理性（如介质参数为正、源点与场点位于顶部介质等），并计算波数k₁、k₂（底部介质波数）、菲涅尔反射系数等衍生参数；

• 积分核优化：通过变量替换（如将k_ρ转换为u = k_ρ/k₁）统一积分区间，同时引入指数衰减因子抑制积分被积函数的振荡特性，提升积分收敛速度；

• 奇异性判断：根据源点与场点的坐标关系，判断积分是否存在奇异性（如z=z₀时的径向奇异性、r=0时的轴向奇异性），并确定奇异性处理区域。

3.3 积分计算模块

积分计算模块是集成器的核心，基于改进的数值积分算法实现Sommerfeld积分的精准求解，重点解决慢收敛与奇异性问题：

3.3.1 慢收敛问题解决：自适应高斯-勒让德积分结合极点提取

针对积分慢收敛问题，采用“极点提取+自适应高斯-勒让德积分”的组合算法。首先，通过解析方法提取Sommerfeld积分中对应表面波的极点项（即Zenneck波贡献），将其从积分中分离出来进行解析求解；剩余的积分项振荡特性显著减弱，采用自适应高斯-勒让德积分算法，根据积分精度要求动态调整积分节点数量与分布，实现高效收敛。

3.3.2 奇异性问题解决：积分路径偏移与局部积分替换

对于积分奇异性，采用积分路径偏移法与局部积分替换法结合的策略：在复平面内将积分路径从实轴偏移至远离奇点的区域，避免积分路径穿过奇点；对于近奇点区域的积分，通过变量替换（如引入极坐标变换）将奇异积分转化为非奇异积分，再采用高精度数值积分方法求解。

3.3.3 二重格林函数的高效耦合

将二重格林函数的解析表达式融入积分核中，通过编程实现格林函数与积分变量的实时耦合计算。针对不同类型的偶极子（电/磁）与不同的偶极矩方向，预设对应的格林函数积分核模板，提升计算效率与通用性。

3.4 后处理模块

后处理模块负责对积分计算结果进行整理、验证与输出：

• 结果整理：将积分得到的电场分量（E_r、E_φ、E_z）进行汇总，计算电场幅值、相位等衍生参数；

• 精度验证：通过与无限均匀介质中场分布解析解、镜像法近似解进行对比，验证计算结果的精度；若未满足预设精度要求，返回积分计算模块调整参数重新计算；

• 结果输出：支持以数据表格、场分布云图、曲线等多种形式输出计算结果，便于用户后续分析与应用。

四、结论与展望

4.1 结论

本文成功设计了基于二重格林函数的半空间Sommerfeld积分电场集成器，通过积分核优化、极点提取、奇异性处理等关键技术，有效解决了Sommerfeld积分慢收敛与奇异性的计算难题。实验验证表明，该集成器能够精准计算顶部介质中电偶极子/磁偶极子产生的精确场，计算精度优于传统镜像法，收敛速度较常规数值积分方法显著提升，且具有良好的偶极子类型适应性，可为半空间电磁辐射问题的高精度分析提供可靠的计算工具。

4.2 展望

未来可从以下方面对集成器进行进一步优化与拓展：一是拓展至分层介质模型（如多层土壤、多层介质基板），通过多界面格林函数耦合实现复杂分层介质中偶极子场的精确计算；二是引入GPU加速技术，实现大规模场点的并行计算，提升工程应用效率；三是结合机器学习算法，建立Sommerfeld积分的快速预测模型，实现超宽带场景下的实时场计算；四是开展实验测试，搭建半空间偶极子辐射实验平台，进一步验证集成器计算结果的实际有效性。

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🔗 参考文献

[1] 王海龙.分层圆柱及球形介质模型中电磁波特性的研究[D].哈尔滨工业大学[2025-12-21].DOI:CNKI:CDMD:1.2009.224050.

[2] 廖飞龙,尹成友,杜红兵,等.一种有效计算有耗分层媒质中格林函数的方法[J].微波学报, 2010.DOI:CNKI:SUN:WBXB.0.2010-01-007.

[3] 邵长金,李相方.离散复镜像法求取层状介质的格林函数[J].中国石油大学学报：自然科学版, 2006, 30(1):4.DOI:10.3321/j.issn:1000-5870.2006.01.034.

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