2024年华为杯数学建模竞赛F题-X射线脉冲星光子到达时间建模思路+代码+论文助攻

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🔥 内容介绍

脉冲星（Pulsar）是高速自转的中子星，具有体积小、密度大的特征。脉冲星的高速自转会形成脉冲，而脉冲的周期其实就是脉冲星的自转周期 。在旋转过程中，脉冲星的磁场会形成强烈的电磁波，就像是“宇宙中的灯塔”，源源不断地、有规律地向外界发射电磁波。正是由于其自转的连续性和稳定性，脉冲星被认为是宇宙中最精确的时钟。脉冲星可以提供独立、稳定的空间参考基准和时间基准，为空间飞行提供导航信标。深空航天器导航以及时间基准的维持对于大国战略安全、航天技术发展、深空探测等都有重要意义。

由于X射线信号不能穿过地球大气，因此脉冲星的X射线波段观测只能在空间开展。2016年11月，我国发射了首颗X射线脉冲星导航试验卫星（X-ray Pulsar Navigation-1, XPNAV-1）对蟹状星云Crab脉冲星（PSR B0531+21）进行观测。Crab脉冲星位于超新星1054 AD（Anno Domini，此处指公元1054年）中心处，是恒星、超新星爆发后在蟹状星云中的残骸，自转周期约为33ms，在X射线波段具有很强的流量，辐射的X射线光子可被空间X射线探测器探测。

在观测过程中，由于卫星不断围绕地球转动，所以卫星轨道位置是实时变化的。在三维空间内描述轨道上的一点，需要六个轨道根数（或称轨道要素、轨道元素或轨道参数），包括：偏心率、角动量、轨道倾角、真近点以及升交点赤经和近地点幅角（具体含义见附录）。为恢复脉冲星的周期性信号，需要将光子到达探测器的时刻转换到惯性系中某一参考点，如太阳系质心天球参考系（Barycentric Celestial Reference System，BCRS）中的坐标原点，即太阳系质心（Solar System Barycenter，SSB）。

脉冲星、卫星和太阳系质心的几何关系如图1所示，X射线脉冲星导航（XPNAV）原理与GPS的差分定位（DGPS）原理类似，均是基于到达时间测距。DGPS是通过比较地面监控站和接收机接收相同卫星的信号传播时间，从而确定接收机的位置和速度等参数。XPNAV则是通过比较脉冲到达太阳系质心和观察航天器（卫星等）接收相同脉冲星的脉冲到达时间实现航天器的定位导航，因此，需要分别计算脉冲到达航天器与太阳系质心的传播时间差，进而求解航天器相对于太阳系质心的位置。求这个时间差的公式也称为时间转化方程，然而，现有的时间转换模型并不令人满意。

脉冲星信号传播过程受多种因素的共同干扰，包括：

真空几何传播时延（Roemer时延）：指在理想真空环境中，信号以光速进行传播所产生的时间延迟。

Shapiro时延：这是光子在通过强引力场（如太阳引力场）时，由于引力弯曲路径所产生的额外时间延迟。引力场引起的光线弯曲如图2所示。

“引力红移”效应：是爱因斯坦的广义相对论一个重要概念，描述了光或电磁波在强引力场中传播时，频率会降低，波长会变长的现象。这意味着，当脉冲星信号穿过不同的引力场区域，如太阳的引力场时，其频率会发生变化。

“动钟变慢”效应：是狭义相对论中的一个重要概念，描述了高速运动下时间膨胀的现象。当卫星以高速在轨道上运行时，其上的时间相对于静止参考系中的时间会变慢，这种效应在高精度时间测量中尤为重要。

脉冲星自行：指脉冲星在天空中相对于其他天体的位置随时间发生变化。脉冲星自行对脉冲到达时间影响较大，分析过程中也要考虑其影响。

除此之外的其他时延（比如视差时延）由于影响相对较小，此处可以不考虑。

脉冲星辐射的X射线光子信号比较弱，且包含大量噪声。探测到的脉冲星在一个自转周期内的信号往往难以获得大量信息。但由于脉冲星信号的背景噪声一般不具有周期性，因此，利用脉冲星星历进行周期折叠，背景噪声将呈现随机分布。而脉冲信号具有周期性，脉冲部分将随着折叠的周期数增加而不断明显。因此，需要利用脉冲星星历对记录的归算至到达太阳系质心时刻的光子进行折叠，得到积分脉冲轮廓与标准脉冲轮廓。通过平移折叠轮廓并与标准轮廓比对，可以根据每段观测求出一个对应于主峰的脉冲到达时间（Time of Arrival，TOA），进一步服务于脉冲星的X射线计时研究与计时参数的精确拟合。

📣 赛题分析​

脉冲星，作为高速自转的中子星，以其体积小、密度大、自转周期稳定等特征，被誉为宇宙中最精确的时钟。其高速自转产生的脉冲信号，就像宇宙中的灯塔，源源不断地向外界发射着电磁波，为人类探索宇宙提供了独特的空间参考和时间基准。

脉冲星的导航潜力早已引起各国科学家的重视。凭借其稳定的自转特性，脉冲星可以提供独立、稳定的空间参考基准和时间基准，为空间飞行提供导航信标。这对于深空航天器导航以及时间基准的维持，在国家战略安全、航天技术发展、深空探测等领域都具有重要意义。

由于X射线信号不能穿过地球大气，对脉冲星进行X射线波段观测只能在空间开展。2016年11月，我国发射了首颗X射线脉冲星导航试验卫星（XPNAV-1），开启了脉冲星导航的新纪元。这颗卫星对蟹状星云中的蟹状脉冲星（PSR B0531+21）进行观测。蟹状脉冲星位于超新星1054 AD（公元1054年）中心处，是恒星爆发后的残骸，自转周期约为33毫秒，在X射线波段具有很强的流量，辐射的X射线光子可被空间X射线探测器探测。

在观测过程中，由于卫星不断围绕地球转动，其轨道位置实时变化。为了准确地描述卫星的轨道位置，需要使用六个轨道根数，包括偏心率、角动量、轨道倾角、真近点以及升交点赤经和近地点幅角。

为了恢复脉冲星的周期性信号，需要将光子到达探测器的时刻转换到惯性系中某一参考点，如太阳系质心天球参考系（BCRS）中的坐标原点，即太阳系质心（SSB）。

脉冲星、卫星和太阳系质心的几何关系如图1所示，X射线脉冲星导航（XPNAV）原理与GPS的差分定位（DGPS）原理类似，均是基于到达时间测距。不同的是，DGPS通过比较地面监控站和接收机接收相同卫星的信号传播时间，从而确定接收机的位置和速度等参数；而XPNAV则是通过比较脉冲到达太阳系质心和观察航天器接收相同脉冲星的脉冲到达时间，实现航天器的定位导航。

为了实现XPNAV，需要分别计算脉冲到达航天器与太阳系质心的传播时间差，进而求解航天器相对于太阳系质心的位置。求这个时间差的公式被称为时间转化方程，然而，现有的时间转换模型并不完善，需要进一步研究。

影响脉冲星信号传播过程的因素多种多样，主要包括：

**1. 真空几何传播时延（Roemer时延）：**这是信号在理想真空环境中以光速进行传播所产生的时间延迟。

**2. Shapiro时延：**这是光子在通过强引力场（如太阳引力场）时，由于引力弯曲路径所产生的额外时间延迟。

**3. “引力红移”效应：**这是爱因斯坦广义相对论的一个重要概念，描述了光或电磁波在强引力场中传播时，频率会降低，波长会变长的现象。

**4. “动钟变慢”效应：**这是狭义相对论中的一个重要概念，描述了高速运动下时间膨胀的现象。

**5. 脉冲星自行：**指脉冲星在天空中相对于其他天体的位置随时间发生变化。

除了以上因素，还有其他时延（比如视差时延），但影响相对较小，可以忽略不计。

脉冲星导航技术的发展，对于深空探测、星际旅行、时间基准维护等领域具有重大意义。未来，随着技术的不断进步，脉冲星导航将会更加精确可靠，为人类探索宇宙提供更加精准的导航指引。

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